nn+1234

则aS=a+a+a+a+…+a+a②， n+1

②–①得：（a–1）S=a–1，

a=1时，不能直接除以a–1，此时原式等于n+1；

an?1?1a≠1时，a–1才能做分母，所以S=，

a?1an?1?1. 即1+a+a+a+a+…+a=

a?12

3

4

n

【名师点睛】根据题目给出的信息，提炼解题方法．认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法． 8．（2019·江西）特例感知

222（1）如图1，对于抛物线y1??x?x?1，y2??x?2x?1，y3??x?3x?1，下列结论正确的序

号是_________；

①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)；

②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移

1个单位得到； 2③抛物线y1，y2，y3与直线y?1的交点中，相邻两点之间的距离相等. 形成概念

2（2）把满足yn??x?nx?1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.

知识应用

在（2）中，如图2.

①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，Cn，其横坐标分别为：?k?1，?k?2，?k?3，…，?k?n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.

③在②中，直线y?1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接CnAn，Cn?1An?1，判断CnAn，Cn?1An?1是否平行？并说明理由.

【答案】（1）①②③

?nn2?2（2）①Pn??,?1?，y?x?1．

?24?②相邻两点之间的距离相等，相邻两点距离为1?k2．

③不平行，直线CnAn的斜率（比例系数）为k?n，与n取值有关(若两直线平行，则斜率会相等). 【解析】（1）①当x=0,y1?y2?y3?1，所以正确；

②y1,y2,y3的对称轴分别是直线x1??，x2??1，x3??，所以正确；

③y1,y2,y3与y?1交点（除了点C）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．

2?nn2?4?n?n2?4?（2）①yn??x?nx?1???x???，所以顶点Pn??,?，

4?2?4??2212322nn2?4?n?n?4?????1?x2?1， 令顶点Pn横坐标x??，纵坐标y?，y?244?2?2即：Pn顶点满足关系式y?x?1.

2②相邻两点之间的距离相等．

理由：根据题意得；Cn?k?n,?k?nk?1，Cn?1?k?n?1,?k?nk?k?1， ∴CnCn–1两点之间的铅直高度=?k?nk?k?1??k?nk?1?k． CnCn–1两点之间的水平距离=?k?n?1?(?k?n)?1．

22

∴由勾股定理得CnCn–1=k+1，

?2??2?2?2?∴CnCn–1=k2?1. ③CnAn与Cn?1An?1不平行． 理由：

根据题意得：Cn?k?n,?k?nk?1，Cn?1?k?n?1,?k?nk?k?1，

?2??2?

An??n,1?，An?1??n?1,1?．

过Cn，Cn–1分别作直线y=1的垂线，垂足为D，E，

所以D（–k–n，1），E（–k–n+1，1）. 在Rt△DAnCn中，

2CnD1???k?nk?1?k2?nktan∠DAnCn=???k?n，

AnD?n?(?k?n)k在Rt△EAn–1Cn–1中，

2Cn?1E1???k?nk?k?1?k2?nk?ktan∠EAn–1Cn–1=???k?n?1，

An?1E?n?1?(?k?n?1)k∵k?n?1≠k?n，

∴tan∠DAnCn≠tan∠EAn–1Cn–1， ∴CnAn与Cn?1An?1不平行．

9．（2019·甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．

点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°． 问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．

【答案】见解析.

【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1， 如图所示：

则EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1， ∴△EB1C1是等腰直角三角形， ∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，

∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点， ∴∠M1C1N1=90°+45°=135°， ∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°， ∴E、C1、N1三点共线，

?A1B1?EB在△A?11B1M1和△EB1M1中，??A?1B1M1??EB1M1，

?B1M1?B1M1∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS）， ∴A1M1=EM1，∠1=∠2，