2019年全国各地中考数学真题分类汇编——专题18 新定义与阅读理解题1(练习版+答案解析版) 下载本文

∵A1M1=M1N1,∴EM1=M1N1,∴∠3=∠4, ∵∠2+∠3=45°,∠4+∠5=45°,∴∠1=∠2=∠5, ∵∠1+∠6=90°,∴∠5+∠6=90°, ∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°.

【名师点睛】此题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识;本题综合性强,熟练掌握正方形的性质,通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键.

10.(2019·甘肃天水)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由;

(2)性质探究:如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD.

2222

试证明:AB+CD=AD+BC;

(3)解决问题:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连结CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

【答案】(1)四边形ABCD是垂美四边形.理由见解析.(2)见解析.(3)GE=73. 【解析】(1)四边形ABCD是垂美四边形.理由如下: ∵AB=AD,∴点A在线段BD的垂直平分线上, ∵CB=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上, ∴直线AC是线段BD的垂直平分线, ∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形; (2)如图1,

∵AC⊥BD,∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,

22222222由勾股定理得,AB+CD=AO+BO+DO+CO=AD+BC, 2222

∴AD+BC=AB+CD;

(3)连接CG、BE,

∵∠CAG=∠BAE=90°,

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,

?AG?AC?在△GAB和△CAE中,??GAB??CAE,

?AB?AE?∴△GAB≌△CAE(SAS),

∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90°, ∴∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG, ∴四边形CGEB是垂美四边形,

2222由(2)得,CG+BE=CB+GE,

∵AC=4,AB=5,∴BC=3,CG=42,BE=52,

2222

∴GE=CG+BE-CB=73,∴GE=73.

【名师点睛】(1)根据垂直平分线的判定定理证明即可;(2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可; (3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算.本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用,正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.