2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线练习(含解析) 下载本文

第7讲 抛物线

[基础达标]

1.已知点A(-2,3)在抛物线C:y=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )

4A.- 33C.- 4

B.-1 1D.-

2

2

解析:选C.由已知,得准线方程为x=-2,所以F的坐标为(2,0).又A(-2,3),3-03

所以直线AF的斜率为k==-. -2-24

2.已知抛物线C1:x=2py(p>0)的准线与抛物线C2:x=-2py(p>0)交于A,B两点,

2

2

C1的焦点为F,若△FAB的面积等于1,则C1的方程是( )

A.x=2y C.x=y

22

B.x=2y D.x=

2

2

2

y 2

?p?不妨设A?p,-p?,B(-p,-p),所以S=1·2p·p解析:选A.由题意得,F?0,?,??△FAB2?22?2??

=1,则p=1,即抛物线C1的方程是x=2y,故选A.

3.(2019·丽水调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C:y=2px(p>0)的焦点,顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l,则点A的位置( )

A.在C开口内 C.在C开口外

B.在C上 D.与p值有关

2

2

p?p??3p?解析:选B.设B?-,m?,由已知有AB中点的横坐标为,则A?,m?,△ABF是边长

2?2??2?

|AB|=2p的等边三角形,即|AF|=

?3p-p?+m2=2p,222所以p+m=4p,所以m=±3?22?

??

2

?3p?p,所以A?,±3p?,代入y2=2px中,得点A在抛物线C上,故选B.

2

?

?

4.已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( )

A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|+|FP2|=|FP3|

2

2

2

2

C.|FP1|+|FP3|=2|FP2| D.|FP1|·|FP3|=|FP2|

解析:选C.根据抛物线的定义知|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+,

222所以|FP1|+|FP3|=?x1+?+?x3+?=(x1+x3)+p=2x2+p=2?x2+?=2|FP2|.

2??2?2???5. 抛物线y=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )

2

2

ppp?

p??p?

?

p?

A.4 C.43

2

B.33 D.8

2

解析:选C.F(1,0),直线AF:y=3(x-1),代入y=4x得3x-10x+3=0, 1

解得x=3或x=.

3

由于点A在x轴上方且直线的斜率为3,所以其坐标为(3,23).

因为|AF|=|AK|=3+1=4,AF的斜率为3,即倾斜角为60°,所以∠KAF=60°, 所以△AKF为等边三角形, 所以△AKF的面积为

32

×4=43. 4

2

6.(2019·杭州市高考模拟)设倾斜角为α的直线l经过抛物线Г:y=2px(p>0)的焦点F,与抛物线Г交于A,B两点,设点A在x轴上方,点B在x轴下方.若cos α的值为( )

A.C.

|AF|

=m,则|BF|

m-1

m+1m-1

m2

B.D.

mm+1

2m m+1

解析:选A.设抛物线y=2px(p>0)的准线为l:x=-. 2

p

如图所示,分别过点A,B作AM⊥l,BN⊥l,垂足分别为M,N. 在三角形ABC中,∠BAC等于直线AB的倾斜角α, 由

|AF|

=m,|AF|=m|BF|,|AB|=|AF|+|BF|=(m+1)|BF|, |BF|

根据抛物线的定义得:|AM|=|AF|=m|BF|,|BN|=|BF|, 所以|AC|=|AM|-|MC|=m|BF|-|BF|=(m-1)|BF|,

|AC|(m-1)|BF|m-1

在直角三角形ABC中,cos α=cos ∠BAC===,故选A.

|AB|(m+1)|BF|m+17.已知抛物线y=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为________.

2

p3p解析:设M(xM,yM),由抛物线定义可得|MF|=xM+=2p,解得xM=,代入抛物线方

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程可得yM=±3p,则直线MF的斜率为

yM2

pxM-

±3p==±3.

p答案:±3

8.已知抛物线C的方程为y=2px(p>0),○·M的方程为x+y+8x+12=0,如果抛物线C的准线与○·M相切,那么p的值为________.

解析:将○·M的方程化为标准方程:(x+4)+y=4,圆心坐标为(-4,0),半径r=2,又因为抛物线的准线方程为x=-,所以?4-?=2,p=12或4. 2?2?

答案:12或4

9.若点P在抛物线y=x上,点Q在圆(x-3)+y=1上,则|PQ|的最小值为________. 解析:由题意得抛物线与圆不相交, 且圆的圆心为A(3,0), 则|PQ|≥|PA|-|AQ|=|PA|-1, 当且仅当P,Q,A三点共线时取等号, 所以当|PA|取得最小值时,|PQ|最小.

2

2

22

2

2

2

2

p?

p?