?10)?0.01?37 10（5）不能这样提问，因为按照概率分布函数的概念，只存在随即变量在某一范围内的概率，而不存在随机变量为某一确定值的概率
3.7.4显像管的灯丝到荧光屏的距离为20cm。要使灯丝发射的电子有90％直接打到荧光屏上，在途中不与空气分子相碰，问显像管至少要保持何等的真空度？设空气分子有效直径为
数为 N1?10000exp(3.0?10?10m，气体温度为27 ?c。
答案
解：设分子与空气碰撞的平均自由程为?e，从显像管的灯丝发射的电子数是N0，途中
不与空气分子相碰地电子数是N 。根据自由程分布残存概率公式
Nx?x?exp(?)，可得：?e＝ (1)
NNo?elnN0另外，电子与空气碰撞的平均自由程公式为：?e＝
1?d?n42 (2)
其中d是空气分子碰撞有效直径。利用p=nkT 可得：?e4kT4kTp?则有
?d2p,?d2?e又：
N?90%,x?0.2m,将他门带入（1）式后再代入（3）式，可得p?3.1?10?2pa No3.9.1杜瓦瓶夹层的内层外直径为15.0cm，外层内直径为15.6cm。瓶内盛着冰水混合物，瓶外室温为25?c，杜瓦瓶高24。0cm
（1）如果夹层内充有一个大气压的氮气，近似的估算由于气体热传导所引起的单位时间内流入杜瓦瓶的热量。取氮分子有效直径为3.1?10?10m
(2)要使热传导流入的热量为（1）的答案的1/10，夹层内气体的压强需降低到多少？ 答案
解：（1）一个大气压下的氮气的导热系数满足如下关系：
nv??Cv,mNA?5k??RT?Mm3?d23?1.26?10?2w?m?1?K?1，
12?n,???d2,氮气的Cv,m?5R 2而 ??由此可估算出结果Q?2??L(T1?T2)?12.1W
R2lnR1kT2?d?12（2）杜瓦瓶夹层厚度为0.3cm，当平均自由程为?1?0.3cm时，p=均温度T＝288.5k，则p0?3.1pa
,取夹层内气体平
假定Q1?1.21pa时的压强是p0?3.1pa,则p3?0.31pa（p3就是本题答案）
4.2.2：一理想气体作准静态绝热膨胀，在任一瞬间压强满足pV??K，其中?和K都是常数，
试证由(pi、Vi)变为(pf、Vf)状态的过程中所做功为
W?piVi?pfVf??1
已知：理想气体，准静态绝热膨胀，满足pV??K，?，K为常量 求：由(pi,Vi)到(Pf,Vf)做的功
Vf解：W?Vi?dV1??pdV??KV??dV?K?1??
VfVfViVi?K1?1??(Vf1???Vi1??)?pfVf?Vf1???pV ??iiVi1??1??pV1ii?pfVfpV?pV? ?ffii?1????1?4.4.2 已知范德瓦尔斯气体的状态方程为(p?aa)(V?b)?RTU?cT??d其中，其内能为mm22VmVma，b，c，d均为常量，试求：(1)该气体从V1等温膨胀到V2时所做的功；（2）该气体在定体
下温度升高?T所吸收的热量。 答案：
已知：范德瓦尔斯气体的状态方程为(p?求：W, ?Q
解：（1）气体对外界所做的功为：
aa)(V?b)?RTU?cT??d ，内能为mm22VmVmW????V2,mV2,mV1,mpdVm
V1,m(RTa?2)dVm Vm?bVm?RTlnV2,m?baa ?V1,m?bV2,mV1,m?（2）因为在定体条件下对外做功为零，由热力学第一定律知升高?T温度吸收的热量为：
?Q??U ?c(T??T)?aa?d?(cT??d) 22VmVm?c?T
4.4.6．设1mol固体的状态方程可写为Vm?Vo,m?aT?bp；摩尔内能可表示为Um?cT?apT，
其中a,b,c和Vo,m均是常量。试求：（1）摩尔焓的表达式；（2）摩尔热容Cp,m和CV,m
已知：Vm?Vo,m?aT?bp，Um?cT?apT，a,b,c和Vo,m是常量 求：H，Cp,m，CV,m
解：（1）Hm?Um?pVm?cT?apT?p(Vo,m?aT?bp) =cT?pVo,m?bp2 （2）Cp,m?(?Hm)p?c ?T1 Um?cT?apT?cT?aT(Vm?Vo,m?aT)
baaa22 =cT?VmT?Vo,mT?T
bbbCV,m?Umaa2a2?()V?c?Vm?Vo,m?T
?Tbbb4.5.2分别通过下列过程把标准状态下的0.14kg氮气压缩为原体积的一不半：（1）等温过程
（2）绝热过程（3）等压过程。是分别求出在这些过程中气体内能的改变，传递的热量和外界
5R对气体所作的功。设气体可看作理想气体，且Cv,m?
2答案 解：（1）等温过程:?U?0
外界对气体所作的功W???RTlnV2?7862j V1（2）绝热过程:按照C?TV??1，有
?V1?T2???V???2???1??V???1?1?T1,?U??Cv,mT1???V???1??9061j
????2??）
等
压
过
程
T2?V2?T1V1（3，则
?V??U??Cv,mT1?2?1???1.41?104j,同时，Q＝?Cv,（1.97?104j,W??U?Q?5.6?103mT1－T2）＝－?V1?
4.5.5 室温下一定量理想气体氧的体积为2.3L，压强为0.1Mpa，经过一多方过程后体积变为4.1L，压强为0.05Mpa，试求：（1）多方指数；（2）内能的变化；（3）吸收的热量；（4）氧气膨胀时对外界所做的功。设氧气的CV,m=2.5R.（R?8.31Jmol?1??1） 答案：
已知：p1=0.1Mpa ，V1 =2.3L，p2=0.05Mpa ，V2 =4.1L，CV,m=2.5R 解：（1）多方过程方程为pVn?C（C为常量），则
p1p2?1.2 两边取自然对数得：n?V2lnV1lnp1V?(2)n p2V1（2）内能的变化?U??CV,m(?2??1) 而p2V2??R?2, p1V1??R?1
p2V2p1V1?) RR代入数据得：?U=-62.5 J（内能减少） 代入上式得：?U?CV,m(（3）多方过程摩尔热容为Cn,m?CV,m?R n?1多方过程中气体从外界吸收的热量为Q?vCn,m(?2??1) 而p2V2??R?2, p1V1??R?1 代入得: Q?(CV,m?Rp2V2pV)(?11) n?1RR代入数据得：Q?62.5 J （4）气体膨胀对外所做的功：
W???W?Q??U=125 J
4.5.7 0.20kg的氦气温度由17?c升为27?c，若在升温过程中：（1）体积保持不变（2）压强保
持不变（3）不与外界交换热量。试分别求出气体内能的改变，吸收的热量，外界对气体所作
3的功。设氦气可看作理想气体，且CV,M?R
2答案
解：（1）体积保持不变W?0,?U?Q?623J(内能增加，吸热）（2）压强保持不变
Q?1.04?103J,?U?623J,W??417J(内能增加，吸热，气体对外作功）（3）不与外界交换热
量：Q?0,?U?W?623J(内能增加，绝热，外界对气体作功） 4.5.8利用大气压随高度变化的微分公式
?Mgdzdp??m，证明高度h处的大气压强为pRT????1Mghm?，其中TO和P0分别为地面的温度和压强，Mm为空气的平均摩尔质量。p?p0?1??CT?p,mo??假设上升空气的膨胀是准静态绝热过程。
答案
解：上升空气的膨胀是准静态绝热过程，满足准静态绝热方程
?TOT? ??1???1(1)
PPO大气压随高度变化的微分公式
Mgdzdp??m（2） pRT由（1）（2）式化简，并两边积分，有
PhRT0dp ????dz 1P0Mmgp??1?0pr0