?????1Mghm? 结果为：p?p0?1??CT?p,mo??

4.5.11用绝热壁做成一圆柱形的容器，在容器中间放置一无摩擦的、绝热的可活动活塞，活塞两侧各有?mol的理想气体，开始状态均为p0,Vo,T0。设气体定体摩尔热容Cv,m为常数，

??1.5。将一通电线圈放在活塞左侧气体中，对气体缓慢加热。左侧气体膨胀，同时通过活塞压缩右方气体，最后使右方气体压强增为27p0。试问（1）对活塞右侧气体做了多少功？（2）8右侧气体的终温是多少？（3）左侧气体的终温是多少（4）左侧气体吸收了多少热量？ 答案： 解：（1）设最终左右侧气体压强分别为，温度分别为，体积分别为。该过程中左侧气体对右侧气体（视作理想气体）所作准静态绝热压缩功为

??11?????3p0V0??p2?pV27????00?????1??pV??RT ?? W??1000??????1??p1.5?18??0????????1??p?p??12?（2）绝热过程中有如此关系：??C1,所以右侧气体的终温为T2????p0?T????（3）

??1??3?T0???T0

2??左侧气体经历的既不是绝热也不是等压过程，要求出终温，必须知道p1，V1，然后通过物态方程求出T1,必须先知道V（因为V1?V2?2V0）.右侧气体的绝热过程有p0V0??p2V2?关系，所以：2123?p0??V2???p???2?由此可得T1???p?14V0pVpV4?V0??0??V0?V0,则有V1?2V0?V2?，又有00?11，?27p0?99T0T1???8?pV21?11?T0?T0p0V04（4）把左右气体作为研究对象，它不对外作功，所以左侧气体吸收的热量应该等于左右气体

内能增加之和

Q??U1??U2??Cv,m(T1?T0)??CV,m(T2?T0)?19?RT0所以CV.m?2R，则有Q＝219?CV,mT04,因为?＝1.5，而Cp,m?CV,m?R,

4.5.18理想气体经摩尔热容为Cm?C0?足的方程。 答案：

a的准静态过程，其中C0，a是常量，试求该过程满T?RT?V?dQ?()1 解：理想气体的热力学第一方程，有dQ??Cv,mdT?pdV,????Cv,m?dTV?T??1式中括号下脚“1”表示沿题中规定的过程变化的微商。故有

aRT?VC0??Cv,m?()1

TV?T经分离变量，两边积分得到

(C0?Cv,m)lnT11V?a(?)?Rln ToTT0V0aa?RlnV?(C0?Cv,m)lnT0??RlnV0?常量 TT0(C0?Cv,m)lnT?C0?CV,M?aT即：TeV?R?C

4.6.1 已知某种理想气体在p-v图上的等温线与绝热线的斜率之比为0.714，现在1mol该种理想气体在p-T图上经历如图4.27（a）所示的循环，试问：（1）该气体的CV,m是多少？ 是多少?(2)该循环中的功是多少？（3）循环效率是多少？ 答案 解：（1）分别对等温过程方程和绝热过程方程的两边取微分，可以得到他们在p-v图上过程曲线的斜率，以下标“T”和下标“S”分别表示等温过程和绝热过程

p??p??????V?TV, ?

?pp()S????VV.比较这两个式子可以知道

Cp,mCV,m?R1 ????,由此可得C：V，m?2.5R

0.714CV,mCV,m（2）现在把循环曲线从p-T图转换为p-V图，如图4-6所示，这是顺时针循环，是热机。计算系统对外做的功W?，计算W???W(W为外界对系统做的功）：

1?2等压膨胀过程：W1??R(2T1?T1)?RT1?2?2p1(V2?V1）??3?02?3等体过程：W2??1?RT1ln3?1等温过程：W3p3??RT1ln2p2

对外做的总功为 W??W??W??W??RT(1?ln2)1?22?33?11计算系统吸收或者释放的热量：1?2等压膨胀过程（吸热）：Q1?2?Cp,m(T2?T1)?Cp,mT12?3等体降温过程（放热）：Q2?3??Cv,mT13?1等温过程（放热）：Q3?1???RT1ln2（3）热机效率为： ??W?RT1(1?ln2)2(1?ln2)＝? Q吸Cp,mT154.6.4 理想气体经历一卡诺循环，当热源温度为100?c，冷却温度微0?c时，做净功800J，今若维持冷却温度不变，提高热源温度，使净功增为1.60?103j,则这时（1）热源温度为多少（2）效率增加到多少？设这两个循环都工作于相同的绝热线之间。

答案;

解：设开始时热源温度为T1，冷却器为T2，对外做功w，效率为?，气体从热源吸收热量的大

?小为Q1，向冷却器放出热量为Q2C，后来的热源温度为T1，对外做功W?，效率??，气体从热??源吸收热量的大小为Q1，向冷却器放出热量为Q2，卡诺循环的效率为

??QTW?1?1?1?2QQ2T1

WT2W

T1?T2原卡诺循环：Q2?Q1?W???W?后来的卡诺循环释放的热量为 Q2??Q1??W??T2W?W???W?

??T1??T2又这两个循环都工作于相同的绝热线之间，因为这两个循环的T2温度是相同的， 所以两个循环向T2温度热源放的热源应该相同，即

'?Q2，则有 Q2T2WTW??2，

?T1?T2T1?T2?W?(T2?T1)所以后一卡诺循环的热源温度为T1??T2?473K

W（2）后一热机的效率为 ???1?T2273?1??42.3% ?473T1

4.7.1将热机与热汞组合在一起的暖气设备称为动力暖气设备。其中带动热崗的动力由热机燃烧燃料对外界做出的功来提供。热工从天然蓄水池或从地下水取出热量，向温度较高的暖气系统的水供热。同时，暖气系统的水又作为热机的冷却水。若燃烧1kg燃料，锅炉能获得H能量。锅炉、地下水，暖气系统的水的温度分别为210℃、15℃、60℃.设热机及熱共均是可逆卡诺机。试问每燃烧1kg燃料，暖气系统所获得热量的理想数值（不计各种实际损失）是多少？ 答案

解：设锅炉、地下水，暖气系统的温度分别以T1,T2,T3表示。显然工作于锅炉和暖气系统之间的可逆卡诺热机的效率为 ?热＝1－按照热机效率的定义 ?热＝W?W??（2） Q1HT3,（1） T1联立（1）(2)式，可得

W??H?热?(T1?T3)H（3） T1设可逆卡诺热机对输送的热量为Q3，由热机效率公式可知

Q3T3TH?,因而有Q3?3(4) HT1T1工作于地下水，暖气系统之间的热汞也是可逆卡诺热机，同样有

?Q2T2 ， ???T3?T2Q3?Q2??其中Q2,Q3分别为热汞从地下水吸取的热量和热汞向暖气系统输送的热量。 对上式做变换可得

??Q3T3Q3T3?? ，即(5) ??T3?T2WT?TQ3?Q232上式的W为外界对热汞输入的功，它全部由（3）式表示的可逆卡诺热机做的功提供，即

W??W，将（3）式带入（5）式，可得

? Q3?T3T3T1W??H（6） T3?T2T3?T2T1?T3暖气系统从热机与热汞组合在一起的暖气设备得到的总热量为（4）式与（6）式之和

TT?T3T3333333150??)?H(??)?3H(即所求) Q＝Q3?Q3?H(3?1T1T3?T2T1483483455.1.1试用反证法证明绝热线与等温线不能相交于二点（注意：不一定是理想气体）。

答案：

解：假设绝热线与等温线相交于二点A和B，相交的绝热线与等温线构成一个闭合路径，该闭合路径构成一个循环。

（1）设绝热线在等温线下方（如图 1所示），当该循环为顺时针循环时系统将仅从单一热源吸收热量并将之全部用来对外做功，而不产生其它影响，这违反了热力学第二定律。 （2）设等温线在绝热线下方（如图 2所示），当该循环为顺时针循环时系统通过绝热膨胀对外做功，然后通过等温压缩向热源释放热量，而此后系统居然回答原初的状态。能量无中生有，这违反了热力学第一定律。

综上所述可见对于任何物质其绝热线与等温线不能相交于二点。 5.1.2：试用反证法证明两绝热线不能相交（注意：不一定是理想气体）。 证明：

a c b