第10章 曲线积分与曲面积分
1．计算下列对弧长的曲线积分：
?x?3t(1) ?xsinyds，其中C为?，(0≤t≤1)；
Cy?t?(2)
?x?acost22，其中C为圆周，(0≤t≤2π)； (x?y)ds???C?y?asint?x?a(t?sint)2，其中C为摆线的第一拱(0≤t≤2π)； yds??Cy?a(1?cost)?(3) (4) (5) (6)
??Cyds，其中C为抛物线y2=2x上由点(0，0)到点(2，2)之间的一段弧； (x?y)ds，其中C为以O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)为顶点的三角形的边界；
x2?y2ds，其中C为圆周x2+y2=ax(a>0)；
?CC?x?tcost?(7) ?zds，其中C为圆锥螺线?y?tsint从t =0到t =1的一段；
C?z?t?222?x?y?z?4?2(8) ?xds，其中C为圆周?
C??z?3解答：(1)
?Cxsinyds??3tsint3?1dt?310?tsintdt?310(?tcost??costdt)
0 0 0 122 110 1n1 ?310(si?c；o s1)(2) (3)
222223(x?y)ds?a(?asint)?(acost)dt?2?a； ???C02??Cyds??a(1?cost)2t(a?acost)?(asint)dt?16?a3sin5dt
002?2563?32?a3sin5?d??a；
0152?22222?22031221?ydy?(1?y)3220(4)
?Cyds??y1?(55?1)； 3(5) C可以分割为三条直线OA:y?0(0?x?1)，
?0(0?y?，1) OB:x 83
BA:y?1?x(0?x?1)
?C(x?y)ds=?(x?y)ds+?(x?y)ds+?(x?y)ds
OAOBAB111000 ??xdx??ydy??(x?1?x)2dx
?2?1；
aa?x?cost???2222
(6) C为圆周x+y=ax(a>0)；化为参数方程?，(0≤t≤2π)，
a?y?sint??2?(7)
Cx?yds??222?0a2(1?cost)aa2?dt?222
?2?0cos?ttdt?a2?cosdt?2a2；
022?Czds??t(cost?tsint)2?(sint?tcost)2?1dt
013122??t2?tdt?(2?t)0312101?(33?22)； 3?x?cos??(8) C可以表示为参数方程?y?sin?;???0,2??
??z?3?Cxds??cos2?sin2??cos2?d???．
022?所属章节：第十章第一节 难度：一级
?x?acost2．已知半圆形状铁丝?(0≤t≤π)其上每一点的线密度等于该点的纵坐标，求此铁丝
y?asint?的质量
解答：m??yds??asint(asint)2?(acost)2dt?2a2
C0?所属章节：第十章第一节
难度：一级
?x?acost?3．已知螺旋线?y?asint(b>0)上各点的线密度等于该点到原点的距离的平方，试求t从0到
?z?bt?
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2π一段弧的质量
8解答：m??(x?y?z)ds??(a2?b2t2)a2?b2dt?a2?b2(2πa2?π3b2)
C03所属章节：第十章第一节 难度：二级
2222??x?a(t?sint)4．求摆线?的第一拱(0≤t≤2π)关于Ox轴的转动惯量(设其上各点的密度与该点
y?a(1?cost)?到x轴的距离成正比，比例系数为k) 解答：I??kyds?k?(1?cost)C032?32?72a(1?cost)?asintdt?2ka22223?0(1?cost)dt
102447tsindt?ka ?0235所属章节：第十章第一节 难度：二级
5．计算下列对坐标的曲线积分：
?64ka32??x?acostπ(1) ?ydx?xdy，其中C为圆弧?,(0?t?)，依参数t增加方向绕行；
C4?y?asint(2) (3) (4)
?x?a(t?sint)，其中C为摆线自原点起的第一拱； (2a?y)dx?(a?y)dy??C?y?a(1?cost)?Cxdy，其中C为x+y=5上由点A(0，5)到点B(5，0)的一直线段；
222(x?a)?y?a(a?0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整，其中C为圆周xydx??C个边界(按逆时针方向绕行) 解答：(1)
(2)
?Cydx?xdy????asintd(acost)?acostd?asint????a40??2?40a2cos2tdt?
2?2?C(2a?y)dx?(a?y)dy
??[(2a?a?acost)d(at?asint)?(a?a?acost)d(a(1?cost))??a2
0(3)
?Cxdy??xd(5?x)??0525 2(4) C分成两部分在C1:(x?a)2?y2?a2(a?0)在x轴的上部逆时针方向，C2是从原点指向(2a,0)，则蜒?xydx?Cπ3xydx?xydx?xa?(x?a)dx?x?0dx??a ??C1?C2?2a?020222a所属章节：第十章第二节 难度：一级
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6．计算?(x2?y2)dx?xydy，其中O为坐标原点，点A的坐标为(1，1)：
OA(1) OA为直线段y=x； (2) OA为抛物线段y=x2； (3) OA为y=0，x=1的折线段
1解答：(1)?(x?y)dx?xydy??x2dx?；
OA03221182432??； (2)?(x2?y2)dx?xydy???x?xdx?xd(x)???15OA0?(3) 设点B的坐标为(1，0)，则OA分为两段
?OA(x2?y2)dx?xydy??OB??BA??x2dx??ydy?00115． 6所属章节：第十章第二节 难度：一级
7．计算?2xydx?x2dy，其中点A、B的坐标分别为A(0，0)，B(1，1)：
AB(1) AB为直线段y=x； (2) AB为抛物线段y=x2； (3) AB为y=0，x=1的折线段 解答：(1) (2)
?AB2xydx?xdy??(2x2dx?x2dx)?1；
021?AB2xydx?x2dy??[2x3dx?x2d(x2)]?1；
021 (3) 设点C的坐标为(1，0)，则AB分为两段
?AB2xydx?xdy??AC??CB??0dx??1dy?1．
0011所属章节：第十章第二节 难度：一级
8．计算下列曲线积分：
?x?t?(1) ?(y2?z2)dx?2yzdy?x2dy，其中L依参数增加方向绕行的曲线段?y?t2(0≤t≤1)；
L?z?t3?(2)
?Lxdx?ydy?(x?y?1)dz，L为从点A(1，1，1)到点B(2，3，4)的一直线段；
1解答：(1)?(y2?z2)dx?2yzdy?x2dz??(t4?t6?4t6?3t4)dt?L01； 35?x?t?1?(2)此时L 写作参数方程?y?2t?1 (0?t?1)
?z?3t?1?
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