.
【解】当x<0时F（x）=0
当0≤x<1时F(x)?x?x??f(t)dt??0??f(t)dt??f(t)dt
0xx2 ??tdt?
02当1≤x<2时F(x)??x??f(t)dt
??
0??1f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt01x11x??tdt??(2?t)dt01x23??2x??222x2???2x?12
当x≥2时F(x)??x??f(t)dt?1
?0,?2?x,?2故 F(x)??2??x?2x?1,?2??1,26.设随机变量X的密度函数为
（1） f(x)=ae?|x|,λ>0;
x?00?x?1
1?x?2x?2?bx,0?x?1,?11?x?2, (2) f(x)=?2,?x?0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【解】（1） 由
????f(x)dx?1知1??ae?????|x|dx?2a?e??xdx?0?2a?
故 a??2
????xe,x?0??2即密度函数为 f(x)??
??e?xx?0??2当x≤0时F(x)??x??f(x)dx??1e?xdx?e?x ??22x?.
.
当x>0时F(x)??x??f(x)dx??1??xe 20?2??edx???xx?20e??xdx
?1?故其分布函数
?1??x1?e,x?0??2F(x)??
1?e?x,x?0??2(2) 由1?????f(x)dx??bxdx??01211b1dx?? 2x22得 b=1
即X的密度函数为
0?x?1?x,?1?f(x)??2,1?x?2
?x其他??0,当x≤0时F（x）=0 当0 0x ??x0x2xdx? 2x??当1≤x<2时F(x)? ??f(x)dx??0dx??xdx????001x11dx x231? 2x当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为 ?0,?2?x,?F(x)??2?3?1,?2x?1,?27.求标准正态分布的上?分位点， （1）?=0.01，求z?; （2）?=0.003，求z?，z?/2. 【解】（1） P(X?z?)?0.01 . x?00?x?1 1?x?2x?2. 即 1??(z?)?0.01 即 ?(z?)?0.09 故 z??2.33 （2） 由P(X?z?)?0.003得 1??(z?)?0.003 即 ?(z?)?0.997 查表得 z??2.75 由P(X?z?/2)?0.0015得 1??(z?/2)?0.0015 即 ?(z?/2)?0.9985 查表得 z?/2?2.96 28.设随机变量X的分布律为 X Pk ?2 ?1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律. 【解】Y可取的值为0，1，4，9 P(Y?0)?P(X?0)?15117??61530 P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1511P(Y?9)?P(X?3)?30P(Y?4)?P(X??2)?故Y的分布律为 Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=( 1k ), k=1,2,…,令 2?1,当X取偶数时Y?? ??1,当X取奇数时.. . 求随机变量X的函数Y的分布律. 【解】P(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)??P(X?2k)? 111?()2?()4??()2k?222 111?()/(1?)?443 2P(Y??1)?1?P(Y?1)? 330.设X~N（0，1）. （1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度. 【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0 x当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny) ??lny??fX(x)dx 故 fY(y)?(2)P(Y?2X?1?1)?1 2dFY(y)111?ln2y/2?fx(lny)?e,y?0 dyyy2π当y≤1时FY(y)?P(Y?y)?0 2当y>1时FY(y)?P(Y?y)?P(2X?1?y) ?P?X? ???2?y?1?y?1?P??X????2?2?y?1? ??2??(y?1)/2?(y?1)/2fX(x)dx ?y?1??y?1???fX??? ???????2?2?????d1FY(y)?故 fY(y)?dy4 ?(3) P(Y?0)?1 2??fXy?1??1221?(y?1)/4e,y?1 y?12π当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0 . . 当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y) ?故fY(y)??y?yfX(x)dx dFY(y)?fX(y)?fX(?y) dy2?y2/2e,y?0 2π?31.设随机变量X~U（0,1），试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1） P(0?X?1)?1 ) 1故 P(1?Y?e?e?当y?1时FY(y)?P(Y?y)?0 X当1 X??lny0dx?lny X当y≥e时FY(y)?P(e?y)?1 即分布函数 y?1?0,?FY(y)??lny,1?y?e ?1,y?e?故Y的密度函数为 ?11?y?e?fY(y)??y, ?0,其他?（2） 由P（0 P(Z?0)?1 当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0 当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z) ?P(lnX??)?P(X?ez2?z/2) .