课时作业(二十二)
ππ
1．(2020·重庆)下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( )
42π
A．y＝sin(2x＋)
2π
C．y＝sin(x＋) 2答案 A
πππ
解析 对于选项A，注意到y＝sin(2x＋)＝cos2x的周期为π，且在[，]上是减
242函数，故选A.
2．函数y＝2cosx的一个单调增区间是( ) ππ
A．(－，)
44π3πC．(，)
44答案 D
解析 y＝2cosx＝1＋cos2x，
∴递增区间为2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π， π
∴kπ＋≤x≤kπ＋π，
2π
∴k＝0时，≤x≤π.选D.
2
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x＝π
A．f(x＋)一定是偶函数
4π
C．f(x－)一定是偶函数
4答案 A
πππ
解析 f(x＋)是f(x)向左平移个单位得到的，f(x)图像关于x＝对称，则f(x＋
444ππ
)图像关于x＝0对称，故f(x＋)为偶函数． 44
4．(2020·杭州模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小π5π
正周期为π，且当x∈[－，0)时，f(x)＝sinx，则f(－)的值为( )
23
π
处取得最小值，则( ) 4
22
π
B．y＝cos(2x＋) 2π
D．y＝cos(x＋) 2
π
B．(0，)
2π
D．(，π)
2
π
B．f(x＋)一定是奇函数
4π
D．f(x－)一定是奇函数
4
1A．－
2C．－
3 2
1B. 2D.3 2
答案 D
解析 据题意，由函数的周期性及奇偶性知：f(－
5π5ππ)＝f(－＋2π)＝f()＝－333
f(－)＝－sin(－)＝
π
3π33. 2
5．函数y＝－xcosx的部分图像是( )
答案 D
思路 方法一 由函数y＝－xcosx是奇函数，知图像关于原点对称． π
又由当x∈[0，]时，cosx≥0，有－xcosx≤0.
2π
当x∈[－，0]时，cosx≥0，有－xcosx≥0.∴应选D.
2方法二 特殊值法，由f(±
π
)＝0， 2
πππ
∵f()＝－·cos<0，由图像可排除A、B，
444πππ
又∵f(－)＝·cos>0，排除C，故选D.
4446．关于x的函数f(x)＝sin(πx＋φ)有以下命题： ①?φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)； ②?φ∈R，f(x＋1)＝f(x)； ③?φ∈R，f(x)都不是偶函数；
④?φ∈R，使f(x)是奇函数． 其中假命题的序号是( ) A．①③ C．②④ 答案 A
解析 对命题①，取φ＝π时，f(x＋2π)≠f(x)，命题①错误；如取φ＝2π，则f(xπ
＋1)＝f(x)，命题②正确；对于命题③，φ＝时f(x)＝f(－x)，则命题③错误；如取φ2＝π，则f(x)＝sin(πx＋π)＝－sinπx，命题④正确．
7．(2020·天津文)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.π
若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
2
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数 答案 A
1π1π
解析 ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝，∵当x＝时，f(x)有最大值，∴×＋
3232πππxπ
φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ，∵－π<φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(＋)，
2
3
3
3
3
由此函数图像易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．故选A.
π
8．(2020·全国课标理)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)
2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
π
A．f(x)在(0，)单调递减
2π3π
B．f(x)在(，)单调递减
44π
C．f(x)在(0，)单调递增
2π3π
D．f(x)在(，)单调递增
44答案 A
π
解析 y＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ＋)，由最小正周期为π
4
B．①④ D．②③
ππ
得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<可得φ＝，所以y＝2cos 2x，
24π
在(0，)单调递减．
2
ππ
9．设函数y＝2sin(2x＋)的图像关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－，0]则x0
32＝______
π
答案 －
6
π
解析 因为图像的对称中心是其与x轴的交点，所以由y＝2sin(2x＋)＝0，x0∈[－
3ππ，0]，得x0＝－. 26
10．设函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0<φ<π)，若函数f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
答案
2π
3
π
解析 由题意得f′(x)＝3cos(3x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝2sin(3x＋φ＋)是奇
3ππ2π
函数，因此φ＋＝kπ(其中k∈Z)，φ＝kπ－，又0<φ<π，所以φ＝. 333
π4π
11．(2020·山东淄博)将函数y＝sin(ωx＋φ)(<φ<π)的图像，仅向右平移，232π
或仅向左平移，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________.
3
1答案 2
T4π2π
解析 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有＝－(－)＝2π，
233T＝4π，即
2π1
＝4π，ω＝. ω2
5π
12．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图像的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asinx3＋cosx的初相是________．
2答案 π
3
5π
解析 f′(x)＝cosx－asinx，∵x＝为函数f(x)＝sinx＋acosx的一条对称轴，
3
5π5π5π3∴f′()＝cos－asin＝0，解得a＝－，
3333
g(x)＝－
＝
32313
sinx＋cosx＝(－sinx＋cosx) 3322
232πsin(x＋)． 33
2
13．已知函数f(x)＝2cosx＋23sinxcosx－1(x∈R)． (1)求函数f(x)的周期、对称轴方程； (2)求函数f(x)的单调增区间． 答案 (1)T＝π，对称轴方程为x＝ππ
(2)[kπ－，kπ＋](k∈Z)
36
π2
解析 f(x)＝2cosx＋23sinxcosx－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．
6(1)f(x)的周期T＝π，函数f(x)的对称轴方程为x＝
kππ
2
＋(k∈Z) 6
kππ
2
＋(k∈Z)． 6
πππππ
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kx－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
26236ππ
∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
36π
14．(2020·北京文)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.
6(1)求f(x)的最小正周期；
ππ
(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
64答案 (1)π (2)2，－1
π
解析 (1)因为f(x)＝4cosxsin(x＋)－1
6＝4cosx(
31
sinx＋cosx)－1 22
2
＝3sin 2x＋2cosx－1 ＝3sin 2x＋cos 2x
π
＝2sin(2x＋)，所以f(x)的最小正周期为π.
6ππππ2π
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤. 64663