解 (1)∵函数f(x)的图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π,∴T=2π,则ω=2π
=1.∴f(x)=sin(x+φ).
Tπ
∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+(k∈Z).
2
ππ
又0≤φ≤π,解得φ=,则f(x)=sin(x+)=cosx.
22π1ππ
(2)由已知得cos(α+)=,∵α∈(-,),
3332π5ππ22
∴(α+)∈(0,),则sin(α+)=.
36335π2π
∴sin(2α+)=-sin(2α+) 33ππ42
=-2sin(α+)cos(α+)=-.
339
7.已知函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π). (1)求函数f(x)的最小正周期;
ππ
(2)若函数y=f(2x+)的图像关于直线x=对称,求φ的值.
46解 (1)∵f(x)=sin(x+φ), ∴函数f(x)的最小正周期为2π.
ππ
(2)函数y=f(2x+)=sin(2x++φ),
44
y=sinx的图像的对称轴为x=kπ+(k∈Z),
ππ
令2x++φ=kπ+,k∈Z,
42
ππ
将x=代入上式,得φ=kπ-(k∈Z).
61211π∵0<φ<π,∴φ=. 12
π
8.已知函数f(x)=msinx+ncosx,且f()是它的最大值(其中m,n为常数且mn≠0),
4给出下列命题:
π
①f(x+)为偶函数;
4②函数f(x)的图像关于点(
7π
,0)对称; 4
π2
3π
③f(-)是函数f(x)的最小值;
4
④函数f(x)的图像在y轴右侧与直线y=的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,
2
mP3,P4,…,则|P2P4|=π;
⑤=1.
其中真命题 是________.(写出所有正确命题的序号) 答案 ①②③⑤
解析 由题意得f(x)=msinx+ncosx =m+nsin(x+φ)(tanφ=). π
因为f()是它的最大值,
4
πππ所以+φ=2kπ+(k∈Z),φ=2kπ+. 424所以f(x)=m+nsin(x+2kπ+π22
=m+nsin(x+).
4
222
2
mnnmπ) 4
nπ
且tanφ==tan(2kπ+)=1,
m4
即=1.故f(x)=2|m|sin(x+
nmπ). 4
πππ
①f(x+)=2|m|sin(x++)=2|m|cosx,为偶函数,①正确;
4447π7ππ7π
②当x=时,f()=2|m|sin(+)
4444=2|m|sin2π=0,
7π
所以f(x)的图像关于点(,0)对称,②正确;
43ππ3ππ③f(-)=2|m|sin(-)=-2|m|sin 4442=-2|m|,取得最小值,③正确;
π
④根据f(x)=2|m|sin(x+)可得其周期为2π,
4
由题意可得P2与P4相差一个周期2π,即|P2P4|=2π,④错误;
⑤=1,显然成立,⑤正确. 9.(2020·浙江文)
mn
ππ
已知函数f(x)=Asin(x+φ),x∈R,A>0,0<φ<.y=f(x)的部分图像如图所示,P,
32
Q分别为该图像的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;
2π
(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,求A的值.
32π
解析 (1)由题意得,T==6.
π3
π
因为P(1,A)在y=Asin(x+φ)的图像上,
3π
所以sin(+φ)=1.
3π
又因为0<φ<,
2π
所以φ=.
6
(2)设点Q的坐标为(x0,-A),
ππ3π
由题意可知x0+=,得x0=4,所以Q(4,-A),
3622π
如图,连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ=,由余弦定理得
3
RP2+RQ2-PQ2A2+9+A2-9+4A212
cos∠PRQ===-,解得A=3. 2
2RP·RQ22A·9+A又A>0,所以A=3.