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①求证：DG=DC

②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你

B在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明） B同类变式：（期末考试原题哦）已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上GG一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60o角的顶点E在BC上滑动，（点FHE不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F ADCAED（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时 猜想AE与EF满足的数量关系是图1 . 请证明你的上述猜想； （２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？

四、角平分线问题 1.如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,∠AEB=90°,设AD＝x, BC＝y，且x,y满足x?y?6x?8y?25?0 22CE图2 连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 . AFBCE图（2）M（1）求AD和BC的长；（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论； （3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由. E 2.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为D 对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

C

A B

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是

∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出

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FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不

B 变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若M O 不成立，请说明理由。

P E 图②

B F D A E F 图③

D C 3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，C AC平分?BAD，过C作A 图①

1第23题图) CE?AB于E，并且AE?(AB?AD)，则(?ABC??ADC等于多少？ 2N 4.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BEBEGA的长. DCF5、在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD，求证：CD⊥AC 6、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E． （1）若BD平分∠ABC，求证CE=BD； （2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。 7已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。 (1) 求证：∠ABE=∠C；

(2) 若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。 五、中点问题

1.在△ABC中,D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交

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AC的平行线

BG于点G。DE?GF,并交AB于点E.连结EG. （1）求证:BG?CF；

（2）请猜想BE?CF与EF的大小关系,并加以证明 2.

如右下图，在?ABC中，若?B?2?C，AD?BC，E为BC边的中点．求证：AB?2DE．

3. 已知?ABC中，AB?AC，BD为AB的延长线，且BD?AB，CE为?ABC的AB边上的中线．求证CD?2CE（提示：倍长中线试试） 附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以?ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?ABD和等腰Rt?ACE，?BAD??CAE?90?.连接 DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．⑴如图①当?ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是；线段AM与DE的数量关系是； ⑵将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转??(0???90)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 6、问题：已知△ABC中，?BAC?2?ACB，点D是△ABC内的一点，且AD?CD，BD?BA．探究?DBC与?ABC度数的比值． 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． （1）当?BAC?90?时，依问题中的条件补全右图． 观察图形，AB与AC得数量关系为________； CBA当推出?DAC?15?时，可进一步推出?DBC的度数为_______；可得到?DBC与?ABC度数的比值为_________． （2）当?BAC?90?时，请你画出图形，研究?DBC与?ABC度数的比值是否与（1）

中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

8、(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,

BDC图1ACD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF.

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(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边

AB,

BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF

＝4.求GH的长.

(3)已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点

O, ∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案： ①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长； ②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).