第76讲 不等式证明的基本方法

夯实基础

【学习目标】

通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．

【基础检测】

111ab

1．已知0

b1＋a1＋b1＋a1＋bA．MN C．M＝N D．不确定

2．已知a>0，b>0，则aabb________(ab)

a＋b2

(填大小关系)．

3．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．

11①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.

ab

11λ

4．设x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求实数λ的最小值．

xyx＋y

【知识要点】 1．基本不等式

定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a，b＞0，那么

a＋b

≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的2

算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．

a＋b＋c3

定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

3

2．比较法

(1)比差法的依据是：a－b＞0a＞b．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．

A

(2)比商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证≥1.

B

3．综合法与分析法

(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．

(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．

典 例 剖 析考点1 比较法证明不等式

例1设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥ab(a＋b)．

考点2 综合法证明不等式

例2设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明： (1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；

(2)“a＋b>c＋d”是“|a－b|<|c－d|”的充要条件．

考点3 分析法证明不等式

(重点保分型考点——师生共研)

例3(1)若正实数a，b满足a＋b＝1

2，求证：a＋b≤1.

(2)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：a＋b＋c≥3.

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