?U外??E外?dl??E外?dr?????rr???r2??Rdr??R2?R2??dr??r?r?0r2?0r?0r2
(r>R)
U球面??E外?dr?R????R ?0U内??E内?dr?U球面?U球面注意：零势面是无穷远。
r?R??6．电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，试求离球心r处?r?R?的电势。 解：电荷体密度
??Q43?R3
由于电场分布具有球对称性， 利用高斯定理可得 Q内Q r??? ? r?r?r4??0r24??0r24??0R3 (r
?Q rQQ22dr?dr?[3R?r]3?r4??R3R4??r28??0R00?2?5?27．（不用看！）一圆盘，半径R?8.0?10m，均匀带电，面密度??2.0?10C?m
。 ?1?求轴线上任一点的电势（该点与盘心的距离为x）
??R?2?由场强与电势梯度的关系，求该点电场强度。
?3?计算x?6.0?10?2m的电势和场强。
解：（1）把圆盘无限分割成许多圆环，其中任一圆环半径为R，宽为dR，该圆环上的电荷量为
dq??dS???2?RdR
////此圆环可以被看作无限细带电圆环，在P点产生的电势为
2?dS??2?R/dR/ r?R/?x2 dU???4??0r4??0r4??0r
dq由电势叠加原理，有
UP??dU????R0?R/dR/??2?0r2?0?RR/dR/R/?x220??[R2?x2?x] 2?0（2）由对称性知，电场沿x方向，
?dU??xE?Exi??i?[1?]i
22dx2?0R?x??1.13?106V/m。x?6.0?10?2m，U?4.5?104V E?4.5?105(V/m) 2?08．半径为R的圆弧ab，所对圆心角?，如图所示，圆弧均匀带正电，电荷线密度为?。
（3）
试求圆弧中心处的电场强度和电势。
解：无限分割带电圆弧为许多电荷元，其中任一电荷元dq??dl??Rd?可看成点电荷，它在O点产生的场强为dE?dqdqdU?，电势为，
4??0R4??0R2//dq/以x轴为对称轴，选另一电荷元dq与dq对称，dq?dq，则有 dE?， 24??0R//由于对称性 dEy?dEy?0，dEx?dEx?2dEx??d?/(2??0R)
/O点总的场强和电势为所有点电荷在该点产生的场强和电势的叠加。
??d???EOx?2?dEx?2?dEcos???2cos??sin
02??R2??0R20??2?d???????? E?sini Uo?2?dU??02??04??02??0R2
??9．?E?dl?0表明静电场具有什么性质？
L答：静电场是无旋场。静电场中，任意两点之间电场强度的线积分与路径无关。静电场中，任意闭合回路电场强度的线积分为零。可以引入电势的概念。 10．电势为零的空间场强一定为零吗？
答：不一定。电势的零点是人为规定的，有意义的是电势差。电势差是电场强度的线积分，线积分为零，不等于电场强度为零。 反例：如果取无限远处电势为零，则两个等量异号电荷的中垂面上各点电势为0，电场不为0（除电荷连线中点）。
?再如，均匀电场E中，连线垂直于电场强度方向的两点a和b，电势差为零，但电
场强度不为零。
11．电场强度为零的空间电势一定为零吗？ 答：不一定。电势的零点是人为规定的。
如，均匀带电球面内部各点场强为0，电势不为0。
但是，电场强度为零，线积分一定为零，空间各点电势相等，电势差为零。例如，处于静电平衡的导体内，电场强度为零，导体是等势体。
作业4
1．如图所示，两个同心金属球壳，它们离地球很远，内球壳用细导线穿过外球壳上的绝缘小孔与地连接，外球壳上带有正电荷，则内球壳上[ ]。 A. 不带电荷
B.带正电 C.带负电荷
D.外表面带负电荷，内表面带等量正电荷
答案：【C】
解：如图，由高斯定理可知，内球壳内表面不带电。否则内球壳内的静电场不为零。
如果内球壳外表面不带电（已经知道内球壳内表面不带电），则两壳之间没有电场，外球壳内表面也不带电；由于外球壳带正电，外球壳外表面带正电；外球壳外存在静电场。电场
强度由内球壳向外的线积分到无限远，不会为零。即内球壳电势不为零。这与内球壳接地（电势为零）矛盾。因此，内球壳外表面一定带电。
设内球壳外表面带电量为q（这也就是内球壳带电量），外球壳带电为Q，则由高斯定理可知，外球壳内表面带电为?q，外球壳外表面带电为q?Q。这样，空间电场强度分布
?，r（两球壳之间：R2?r?R3）
4??0r2??q?Q?，E2(r)?r（外球壳外：R4?r） 24??0r其他区域（0?r?R2，R3?r?R4），电场强度为零。内球壳电势为
????R3???????R3q??q?Q??U??E?dl??E1(r)?dr??E2(r)?dr??r?dr?r?dr22?R2R2R4R24??0rR44??0r??E1(r)?q
?则
q4??0(111q?Q?)??0R2R34??0R4R4qqqQ????0，q??Q
111R2R3R4R4??R2R3R4由于R2?R3?R4，Q?0，所以
q?0
即内球壳外表面带负电，因此内球壳负电。
2．真空中有一组带电导体，其中某一导体表面某处电荷面密度为?，该处表面附近的场强大小为E，则E???0。那么，E是[ ]。
A. 该处无穷小面元上电荷产生的场 B.导体上全部电荷在该处产生的场 C.所有的导体表面的电荷在该处产生的场 D.以上说法都不对
答案：【C】
解：处于静电平衡的导体，导体表面附近的电场强度为E???0，指的是：空间全部电荷分布，在该处产生的电场，而且垂直于该处导体表面。
注意：由高斯定理可以算得，无穷小面元上电荷在表面附近产生的电场为?/2?0；无限大带电平面产生的电场强度也为?/2?0，但不是空间全部电荷分布在该处产生的电场。 3．一不带电的导体球壳半径为R，在球心处放一点电荷。测得球壳内外的电场。然后将此点电荷移至距球心R2处，重新测量电场。则电荷的移动对电场的影响为[ ]。
A. 对球壳内外电场无影响 B.球壳内电场改变，球壳外电场不变 C.球壳内电场不变，球壳外电场改变 D.球壳内外电场均改变
答案：【B】 解：球壳内的电场由球壳内的电荷分布及球壳内表面的总电量决定，球壳外的电场由球壳外
的电荷分布及球壳外表面的总电量决定。
由高斯定理可知，球壳内表面的电荷量与球壳内的电荷量等量异号。球壳内的电荷移动不会改变球壳内表面的电荷量。因此，球壳外表面的电荷量不会受到球壳内电荷移动的影响。由于
静电屏蔽，球壳外表面的电荷分布不受球壳内电荷移动的影响。因此，球壳外的电场强度不受球壳内电荷移动的影响。
球壳外表面的电荷在球壳内和球壳里产生的电场强度为零，不受球壳内电荷移动的影响。
球壳内电荷移动，为保证球壳里的电场强度为零，球壳内表面的电荷要重新分布（净电荷量不变），这将导致球壳内的电场强度改变（电场线变化）。 4．半径分别为R及r的两个球形导体?r?R?，用一根很长的细导线将它们连接起来（即两球相距很远），使两个导体带电，则两球表面电荷面密度的比值?大球?小球为[ ]。
22RrRr D. A. r B.R C.
r2R2答案：【B】
解：由于两球相距很远，近似分别看作孤立导体球。电荷分布相互不影响，都是均匀分布，独自产生电场，电场不叠加。或者说，在对方电场强度线积分的范围内，电场强度为零。这样可以近似分别求得各自的电势（以无限远处电势为零）
?r4?r2Ur?4??r0?R4?R2，UR?
4??0R由于，两个导体球用导线连接，又是一个导体，由静电平衡条件，导体为等势体：
0 5．一面积为S，间距为d的平行板电容器，若在其中平行插入厚度为d2的导体板，则电
?r4?r2?R4?R2?4??r4??0R?Rr? ?
?rR容为 。
?2S E1?E2?
?0d解1：设电荷面密度为?，则电场在两极板之间、导体外处处为?/?0。
答案：C??0两极板电势差为
U?E1a?E2(d/2?a)??d/2?0， 而Q??S?CU，则
2S C??0d解2：可以看作两个平行板电容器的串联。
SS，C2??0
d2?aad2?a111ad????? CC1C2?0S?0S2?0S2?SC?0
d6．两个同心导体球壳，内球壳带电Q，外球壳原不带电，则现外球壳内表面电量 ，外球壳外表面电量 ，外球壳外P点总场强 。
Q? r答案：Q内＝－Q,Q外＝Q, E?24??0rOP7．试计算两根带异号的平行导线单位长度的电容。假设导线的半径为a，相隔距离为d?d??a?，导线为无限长，电荷均匀分布。
解：由题意和场强叠加原理, 两导线间，距?导线为x点的场强为
C1??0