??? E?E1?E2
由高斯定理
??E?dS?Q/?0,
在两个导线之间（平面）的P点，有
?E1???????i，E2??i 2??0x2??0(d?x)点的电场强度为 P???E?E1?E2?????i?i 2??0x2??0(d?x)??d?i2??0x(d?x)两个导线之间的电势为
2?d?a??2???U??E?dl??E1?idx??E2?idx??2111ad?a???d?a dx??dx?ln2??0x2??0(d?x)??0aa故单位长度的电容为 C?dlna8在一大块金属导体中挖去一半径为R的球形空腔，球心处有一点电荷q。空腔内一点A到球心的距离为rA，腔外金属块内有 一点B，到球心的距离为rB，如图4-2所示。求A,B两点的电场强度。S
QL???LULU??0d?alna???0
解：
由于电荷q放在球心处，球形空腔内的电场强度具有球对
称性，由高斯定理得到A的电场强度
??E?dS?Q/?0,EA?rA 24??0rArAqB点在导体内，EB=0
9．有两个无限大平行面带电导体板，如图4-3所示。
?1?证明：相向的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相反；
相背的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相同。
?面上的电荷面密度。E
?2?若左导体板带电3C?m?2，右导体板带电7C?m?2，求四个表
解：设4个面电荷分布为?1 、?2 、?3 、?4（暂设为正） (1)做出如图所示的柱形高斯面S1，由于导体内部场强为零，侧面法线方向与场强方向垂直，故穿过高斯面S1的电通量为零，由
高斯定理有，S1面内电荷数为零，即?2???3。
做出如图所示的对称的柱形高斯面S2，侧面法线方向与场强方向垂直；柱形两个底面上，电场强度大小相等，而且都与底面法线方向同向，由高斯定理有
E2?S??1??2??3??4???4???4?S?1?S，E?1?0?02?0
做出如图所示的对称的柱形高斯面S3，由高斯定理有
?1??S，E?1 ?0?0两式联立，即可得到?1??4。
E?S?(2)
??1??2?3?????7?????5C?m?2?3?144 ????2???1??4??2???3??2C?m???2???310．将一个中性的导体放在静电场中，导体上感应出来的正负电荷的电量是否一定相等，这时导体是否为等势体？若在电场中将此导体分为分别带正负电的两部分，两者的电势是否仍相等？
答：(1) 一定相等；是等势体. (2) 不一定. 解：（1）电荷守恒，中性导体感应出来的电荷的电量一定等值异号。只要导体达到静电平衡，导体一定是等势体。（2）分开后，变为两个导体，各自的电荷要重新分布，各自达到静电平衡，各自是等势体，但两个等势体的电势不一定相等。
11．孤立导体带电量Q，其表面附近的场强方向如何？当将另一带电体移近导体时，其表面附近的场强方向有什么变化？导体内部的场强有无变化？
答案：(1)方向为垂直导体面； (2)没有变化; (3)内部场强不变。 解：（1）静电平衡时，导体表面附近的电场强度与该处导体表面。在表面正电荷处，电场强度方向向外；在表面负电荷处，电场强度方向向里。（2）当将另一带电体移近导体时，电荷要重新分布，两个导体的电荷产生的电场叠加，保证导体表面附近的电场强度与该处导体表面。（3）静电平衡时，导体内部电场强度为零。 12．根据电容的定义C?Q，是否可以为系统不带电时电容为零？ U答案：不能这么认为。电容是系统的固有属性，不会因系统带电与否而改变。
作业5
1．一平行板电容器中充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介质。已知介质表面极化电荷面密度为???，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为[ ]。
A.
???????? B. C. D. ?02?0?0?r?r答案：【A】
解：极化电荷也是一种电荷分布，除不能自由移动和依赖于外电场而存在外，与自由电荷没有区别。在产生静电场方面，它们的性质是一样的。在电容器中，正是极化电荷的存在，产
生的静电场与自由电荷产生的静电场方向相反，使得电容器中总的电场强度减弱，提高了电容器储存自由电荷的能力，电容器的电容增大。或者说，储存等量的自由电荷，添加电介质后，电场强度减弱，电容器两极的电势差减小，电容器的电容增大。 正负极化电荷产生的电场强度的大小都是?电场的电场强度为?//2?0，方向相同，所以，极化电荷产生的
?0。
2．在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图5-1放置，以点电荷q所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面[ ]。
A. 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强 B. 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强 C. 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立 D. 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立
答案：【B】
解：静电场的高斯定理，是静电场的基本规律。无论电场分布（电荷分布）如何，无论有无电介质，也无论电介质的分布如何，都成立。但是，只有在电场分布（电荷分布和电介质分布），在高斯面上（内）具有高度对称时，才能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。否则，只能计算出穿过高斯面的电通量。图示的高斯面上，电场强度分布不具有高度对称性，不能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。
3．半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为?r的均匀介质。设两圆筒上单位长度带电量分别为??和??，则介质中的电位移矢量的大小D? ，电场强度的大小E? 。 答案：D???, E?
2???r2? r0r解：如图，取柱面高斯面。根据对称性，柱面（高
?斯面）的上下底上，电位移矢量D与高斯面法线
方向垂直；柱面（高斯面）的侧面上，电位移矢由高斯定理，得到
?量D处处大小相等，并与高斯面法线方向平行。
???，， 2?rlD?l?D?dS?QD?0??2? rS电场强度为
?
?0?r2??0?rr4．一带电量q、半径为R的金属球壳，壳内充满介电常数为?的各向同性均匀电介质，壳外是真空，则此球壳的电势U? 。
E?D?答案：
q4??0Rq
解：由高斯定理，可以求得球壳外电场强度
E?4??0r2?
取无限远处电势为零，则
U??Ecos?ds?Rq4??0R
5．两个点电荷在真空中相距为r1时的相互作用力等于在某一“无限大”均匀电介质中相距为r2时的相互作用力，则该电介质的相对介电常数?r? 。
r12答案：?r?2
r2解：在真空中，两个点电荷之间的作用力（库仑力）为F?Q1Q2
4??0r12?/Q1点电荷Q1在“无限大”电介质中产生的电场强度为E1?
4??0?rr2点电荷Q2受到的库仑力为F/?Q2E1?依题F/?F
/Q1Q24??0?rr22
Q1Q2Q1Q2r12? ? ?r?2
4??0r124??0?rr22r26．有一同轴电缆，内、外导体用介电系数分别为?1和?2的两层电介质隔开。垂直于轴线的某一截面如图5-2所示。求电缆单位长度的电容。
解：取高斯面为柱面。柱面的半径为r、长度为l，对称轴为同轴电缆的对称轴，柱面在同轴电缆的两极之间。由对称性，高斯面上的上下底面电位移矢量与高斯面法线方向垂直；侧面上，电位移矢量处处大小相等，并且与高斯面平行。由高斯定理,有
?????，R1?r?R3 ， D?rD?dS?2?rlD?q??l0??2? rS则同轴电缆的两极之间的电场强度为
??DE1???1?2??1r??D? ，R1?r?R2；E2?r??2?? ，R2?r?R3 r2??2rR3同轴电缆的两极之间的电势差为
??R2??R3??R2U??E?dl??E1?dr??E1?dr??R2R1R1R2R1??????dr??r?dr2??1r2??2rR2??1R21R3(ln?ln)2??1R1?2R2q0???UU
单位长度的高斯面包围的自由电荷量为q0??
2??0?1?2 RR?2ln2??1ln3R1R27．在一平行板电容器的两极板上，带有等值异号电荷，两极间的距离为5.0mm，充以?r?3则单位长度的同轴电缆的电容为：C?的介质，介质中的电场强度为1.0?10V?m。
求：?1?介质中的电位移矢量；?2?平板上的自由电荷面密度；?3?介质中的极化强度；
6?1?4?介质面上的极化电荷面密度；?5?平板上自由电荷所产生的电场强度，介质面上极化电
荷所产生的电场强度。
?5?2解：(1) D??E??0?rE?2.655?10C?m
(2) ?e0?D??0?rE?2.655?10?5C?m?2
?5?2 (3) P??e?0E?1.77?10C?m
(4) ?e?P?1.77?10?5C?m?2
6?1 (5) E0??e0/?0??rE?3.0?10V?m，
/E/?E0?E?(?r?1)E?2.0?106V?m?1
1.77?10?5C?m?26?1?2.0?10N?C 或E??e/?0? ?122?1?28.85?10C?N?m8． 一导体球，带电量q，半径为R，球外有两种均匀电介质。第一种介质介电常数为?r1、厚度为d，第二种介质为空气?r2?1充满其余整个空间。求球内、球外第一种介质中、第
//二种介质中的电场场强、电位移矢量和电势。 解：由高斯定理，得到电位移矢量的空间分布
D1?0，（r?R）；D2?D3?电场强度的空间分布：
q，（R?r）。 24?rE3?，（R?r?R?d）；
?R?d???E3?dr??RE1?0，（r?R）；E2?球壳内电势：（r?R）
?q4??0?r1r2q4??0r2，（r?R?d）。
??R??R?d??U1??E?dl??E1?dr??E2?dr?rrRq4??0?r1r2?dr?R?dR?d?q4??0r2dr 11q?)?4??0?r1RR?d4??0(R?d)球外第一种介质中的电势：R?r?R?d ????R?d?R?d???U2??E?dl??E2?dr??E3?dr???(rrR?drqq4??0?r1r2?dr?R?d?q4??0r2dr 11q(?)?4??0?r1rR?d4??0(R?d)球外第二种介质中的电势：r?R?d ???????qq U1??E?dl??E3?dr??dr??24??0rrrr4??0r9．半径为R的均匀带电金属球壳里充满了均匀、各向同性的电介质，球外是真空，此球壳
Q的电势是否为？为什么？
4??R?Q?，球壳电势为 r答：球壳外电场分布E?24??0r?q???U??E?dl???RRQ4??0r2???dr??rR?Q4??0r2dr??Q4??0R
作业6
1．真空中有一均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电量都相等，则