??dlOB与感生的涡旋电场EiOB垂直。因此，OA和OB上的电动势为零
???OA??d?OA??EiOA?dlOA?0
???OB??d?OB??EiOB?dlOB?0
由法拉第电磁感应定律，回路OACBO上的感应电动势为
?OACBO??OA??ACB??BO??OA??ACB??OB??ACB??d?OACBOdB??SOACBOdtdt
则弧线ACB上的电动势为
?ACB??dBdBSOACBO，?ACB?SOACBO dtdt弧线AB上的电动势为
dB|SABO2 dt回路OADBO上的感应电动势为
?OADBO??OA??ADB??BO??OA??ADB??OB??ADB?AB2?|??d?OADBOdB??SOADBOdtdt
则直线ADB上的电动势为
?ADB??dBdBSOADBO，?ADB?SOADBO dtdt由于SOACBO?SOADBO，所以?ADB??ACB
3.如图13-3所示,闭合线圈共50匝,半径r=4cm,线圈法线正向与磁感应强度之间的夹角
??600,磁感应强度B?(2t2?8t?5)?10?2T。求：t?3s时感应电动势的大小和方向。
解：穿过一个线圈的磁通量为：
????B?S?BScos?
感应电动势为：（取俯视时，逆时针方向为感生电动势的正方向）
?i??Nd?dB??NScos?dtdtd??N??r2??2t2?8t?5??10?2cos?
dt??N??r2??4t?8??10?2cos????it?3s??2.51?10?2V
dB?50T.S?1的均匀速率增加,已知dt４.如图１３－４所示，一均匀磁场被限制在R?1的圆柱形空间内,磁场以
???3,oa?ob?0.4m,求:等腰梯形导线框中的感应
电动势,并指出其方向。
解：线框abcda所围面积中只有abefa一部分有磁通量,此面积
S/?1212R??oasin??0.454m2, 回路abcda方向与磁场方向一致 22感应电动势?i??t10d?dB??S'??22.7V,负号表示其方向由d到c。 dtdt5.如图13-5所示，随时间变化的均匀磁场,磁感应强度B?1.5eT，在其中放一固定的U形导轨,导轨
上有一长为L?10cm的导体杆可无摩擦滑动，设t?0时可滑动杆cd与ab重合，并开始以
?v?100cm.s?1的速度匀速向右运动，求任一瞬时导体
杆中的电动势。
解：穿过导体杆L与导轨形成的线圈的磁通量：
t??????(t)?B(t)?S(t)?B(t)??Lvt??B(t)Lvt?1.5e10Lvt
导体杆中的电动势为：
ttt????d?dd?tt????101010?i?????BLvt???Lv?1.5et???1.5Lv?1??e??0.15?1??e ??dtdtdt??10??10??6.一块金属在均匀磁场中平移或旋转，金属中会产生涡流吗?
[答] 不会产生涡电流。因为涡旋电动势是由磁场随时间变化产生。 7.变压器的铁芯总是做成片状的,而且涂上绝缘漆互相隔开，为什么? [答] 减少涡旋电流
5如图13-5所示，随时间变化的均匀磁场,磁感应强度B?1.5eT，在其中放一固定的U形导轨,导轨上有一长为L?10cm的导体杆可无摩擦滑动，设t?0时可滑动杆cd与ab重合，并开始以v?100cm.s的速度匀速向右运动，求任一瞬时导体杆中的电动势。
解：穿过导体杆L与导轨形成的线圈的磁通量：
t??????(t)?B(t)?S(t)?B(t)??Lvt??B(t)Lvt?1.5e10Lvt
?t10?1回路中的感生电动势为：
ttt????d?dd?tt?????i?????BLvt???Lv?1.5e10t???1.5Lv?1??e10??0.15?1??e10 ??dtdtdt??10??10??这是整个回路的感生电动势。 在t时刻，回路的长度为 l?2L?2vt
则在t时刻，导体棒cd上的感生电动势为
?icdLLLt??10???i??i??0.15?1??e
l2L?2vt2L?2vt?10?t在t时刻，导体棒cd上的动生电动势为
?cd??vBL
在t时刻，导体棒cd上的动应电动势为
???icd??cdLt????vBL?0.15?1??e2L?2vt?10?t?10
作业14
1关于长直螺线管的自感系数L的值，下列说法中错误的是[ ]。
A.螺线管的半径越大，L越大 B.充有铁磁质的L比真空的L大 C.通以的电流I的值越大，L越大 D.单位长度的匝数越多，L越大． 答：【C】
解：长直螺线管的自感系数 L??n2V，与螺线管是否通电流无关。 2.对于单匝线圈取自感系数的定义为L??。当线圈的几何形状，大小及周围磁介质分布I不变，且无铁磁性物质时，若线圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数L［ ］
A.变大，但与电流不成反比关系 B.不变 C.变大，与电流成反比关系 D.变小 答：【B】
解：自感系数只与线圈的几何形状，大小及周围磁介质分布有关，与是否通有电流无关。 ３.中子星表面的磁场估计为10T，则该处的磁能密度为 。
?3kg?m按质能关系，质量密度为 。 1B2 解： 磁场能量密度为w?2?08取中子星表面附近体积V，体积V内具有的磁场能量为Wm?wV，质量为m??V。 按爱因斯坦质能关系E?mc，则
2Wm?wV?12?0B2V?E?mc2??Vc2， ??12?0c2B2，其中c为真空光速。
４.半径为2.0cm的螺线管，长30.0m，上面均匀密绕1200匝线圈，线圈内为空气。 求：（1）求此螺线管的自感系数。 （2）当螺线管中电流以3.0?10A?s的速率变化时，在线圈中产生的自感电动势多大？
[解]（1）L??nV??n ?7.58?10?5222?1?R2L?4??10?7?(1200/30.0)2???0.022?30.0
亨利
dI?2.27?10?2V dt5.如图14-1，面积为S1总匝数N1的线圈，套在面积为S2长为l总匝数为N2的螺线管2上 ，螺线管中通有电流I2，
（2）?L?L求：（1）线圈1中的磁通量； （2） 线圈与螺线管的互感。
解：螺线管2产生的磁场（认为在线圈2内部，外部为零）
B2??0n2I2 ?21，其中 n2?N2 l
（1）螺线管2产生的磁场，穿过线圈1的磁通量（磁链）
?N1B2S2?N1?0n2I2S2，其中 n2?N2l（2）螺线管与线圈之间的互感系数
?21M??N1?0n2S2
I26.一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为R1和R2，筒和圆柱之间充以电介质，电介质和金属的?r均可作取1。
求： 此电缆通过电流I（由中心圆柱流出，由圆筒流回）时，单位长度内存储的磁能，并通过和自感磁能的公式比较求出单位长度电缆的自感系数。 解： 磁场被限制在同轴电缆内，由安培环路定理可得
?Ir?2?R21??IH???2?r0???(0?r?R1)(R1?r?R2) (r?R2)磁场能量也只储存在电缆内，在（0?r?R1）范围内，取长度为
l的一段柱壳
dV?2?rldr （0?r?R1），其中储存的磁能为
Wm1??wdV??VR10?0I2l3?0I2lR3?0I2l rdr?rdr?44?016?4?R14?R11同样在（R1?r?R2）范围内，取长度为l的一段柱壳
，其中储存的磁能为 dV?2?rldr（R1?r?R2）
R2VR1 Wm2?wdV????0I2?0I2lR2
2?rldr?ln4?R18?2r2因此，长度为的一段电缆中储存的总磁能为
?0I2lRWm?Wm1?Wm2?(1?4ln2) 16?R1单位长度内储存的磁能为
Wm?0I2Rwm??(1?4ln2)
l16?R1l由自感磁能与自感系数的关系 Wm?1LI2，得
2L??0R(1?4ln2) 8?R17.如果电路中通有强电流，当突然打开电闸断电时，就有一大火花跳过电闸，为什么？
[解] 断电时电流变化剧烈，由于自感，在电闸的两极积聚大量的正负电荷，形成很强的电场，击穿空气。
8.两个相距不太远的线圈，如何放置可使其互感最大？如何放置可使其互感为零？ 解：平行放置互感最大，垂直放置互感为0
作业15
1.下述说法中正确的是[ ]
A.位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律。 B.位移电流由变化的磁场产生的
C.位移电流的磁效应不服从安培环路定理 D.位移电流是由变化的电场产生的 答：［D］
解：变化的电场产生位移电流（或者说，变化的电场产生磁场）。在产生磁场方面，位移电流与传导电流是一样的，位移电流的磁效应服从安培环路定理。但位移电流不是电子的定向移动，因此，位移电流不产生焦耳热效应。
麦克斯韦的“位移电流”假说，与他的“涡旋电场”假说不同，在涡旋电场的作用下，电子是会作定向移动的。
2.下列说法中正确的是[ ]
A.变化的电场所产生的磁场，一定随时间变化 B.变化的磁场所产生的电场，一定随时间变化 C.有电流就有磁场，没有电流就一定没有磁场 D.变化着的电场所产生的磁场，不一定随时间变化 答：［D］
解：变化的电场所产生的磁场，与电场随时间的变化率成正比B?dEdE ，而 可以dtdt是常数，即电场随时间的变化率固定时，变化的电场所产生的磁场也是不随时间变化的，dBdBA错。变化的磁场所产生的电场，与磁场随时间的变化率成正比E? ，而 可以
dtdt是常数，即磁场随时间的变化率固定时，变化的磁场所产生的电场也是不随时间变化的，
B错。在电流的周围存在磁场，即有电流就有磁场；变化的电场也可以产生磁场，C错。