27.1.2 圆的对称性

第2课时 垂径定理

知|识|目|标

1．通过折叠、作图等方法，探索出圆是轴对称图形．

2．通过圆的对称性探索出垂径定理及其推论，会用垂径定理解决有关的证明和计算问题． 3．会利用垂径定理解决实际生活中的问题．

目标一 理解圆的轴对称性

例1 教材补充例题 下列说法正确的是( ) A．每一条直径都是圆的对称轴 B．圆的对称轴是唯一的 C．圆的对称轴一定经过圆心

D．圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线 【归纳总结】圆的对称轴的“两点注意”：

(1)圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．

(2)对称轴是直线而不是线段，所以说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”．

目标二 能应用垂径定理及其推论进行证明或计算

例2 教材补充例题 如图27－1－9，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是( )

图27－1－9

︵︵

A．CM＝DM B.CB＝DB C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB 【归纳总结】垂径定理的“三点注意”：

(1)垂径定理中的直径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”． (2)当垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立．

(3)平分两条弧是指平分这条弦所对的优弧和劣弧，不要漏掉优弧．

例3 教材补充例题 如图27－1－10，AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，垂足为H，连结BC，BD.

(1)求证：BC＝BD；

(2)已知CD＝6，OH＝2，求⊙O的半径．

1

图27－1－10

【归纳总结】垂径定理中常作的两种辅助线：

(1)若已知圆心，则过圆心作垂直于弦的直径(或半径或线段)．

(2)若已知弧、弦的中点，则作弧、弦中点的连线或连结圆心和弦的端点等． 目标三 会用垂径定理解决实际生活中的问题

例4 高频考题“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”题目用现在的数学语言表达如下：如图27－1－11所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．请你解决这个问题．

图27－1－11

【归纳总结】垂径定理基本图形中的“四变量、两关系”： 1．四变量：设弦长为a，圆心到弦的距离为d，半径为r，弧的中点到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量知道其中任意两个即可求出其他两个． 2．两关系：(1)()＋d＝r；

2(2)h＋d＝r.

a222

图27－1－12

知识点一 圆的轴对称性

圆是____________，它的任意一条直径所在的直线都是它的________，圆有________条对称轴．

知识点二 垂径定理及其推论

垂直于弦的直径__________，并且____________．

推论： 平分弦(不是直径)的直径____________，并且______________________；平分弧的直

2

径垂直平分这条弧所对的弦．

已知CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，求BE的长． 解：如图27－1－13，连结OC，则OC＝5. ∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝1

2CD＝4.

在Rt△OCE中，

OE＝OC2－CE2＝3，

∴BE＝OB＋OE＝5＋3＝8. 以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充．

27－1－13

3

图