3.3.2 双曲线的简单性质
[基础达标]
1．双曲线x－＝－1的渐近线方程为( )
3A．y＝±3x C．y＝±
3x 3
1
B．y＝±x
3D．y＝±3x
2
y2
解析：选D.方程化为－x＝1，a＝3，b＝1.∴渐近线方程为y＝±3x.
3
2.已知双曲线的渐近线为y＝±3x，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 824C.
－＝1 248
y2
2
x2y2
B．－＝1 124D．－＝1
412
x2y2
x2y2x2y2
解析：选D.焦点在x轴上.＝3，c＝4，c＝4＝a＋b＝a＋(3a)＝4a， ∴a＝4，b＝12.故选D.
2
2
ba2222222
x2y2
3.已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝3，则它的渐近线方程为( )
abA．y＝±
2x 2
B．y＝±3x D．y＝±x
2
C．y＝±2x
c2a2＋b2b2b解析：选C.∵e＝3，∴e＝2＝2＝1＋()＝3，∴＝2，又焦点在x轴，∴渐
aaaa近线方程为y＝±2x.
4.设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为( )
A.1＋2
2
1＋3B．
2D．1＋3
C．1＋2
过B作BD⊥AC，D为垂足，则 |AC|＝2CD＝2×BCsin 60°＝23c，
解析：选B.由题意知AB＝BC＝2c，又∠ABC＝120°，
由双曲线定义|AC|－|BC|＝23c－2c＝2a，
c213＋1∴e＝＝＝＝.
a23－223－1
x22
5.已知抛物线y＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y＝1
a2
的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为( )
1A. 91C. 3
1B． 41D． 2
解析：选A.由题意得1＋＝5，p＝8，y＝16x，当x＝1时，m＝16，m>0，m＝4.
2∴M(1，4)，双曲线左顶点A(－a，0)，kAM＝41＋a，由题意41＋a＝1
1
，∴a＝.
9ap22
x2y2
6.双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域
ab(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为________．
解析：由题意当x＝1时，y＝x＝<2，
babac2b2
∴e＝2＝1＋()<5，
aa2
又e>1，∴e∈(1，5)． 答案：(1，5)
7.过点(0，1)且斜率为1的直线交双曲线x－＝1于A，B两点，则|AB|＝________．
4解析：直线的方程为y－1＝x，即y＝x＋1，代入x－＝1整理得3x－2x－5＝0，
455822
∴x1＝－1，x2＝，|AB|＝1＋k|x1－x2|＝1＋1|1＋|＝.
33382
答案：
3
2
2
y2
y2
2
x2y23
8.已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的
ab3
距离为1，则双曲线方程为________．
解析：双曲线的一个顶点为(a，0)，它到渐近线x－3y＝0的距离为
|a|1＋（3）
2
＝1，
b3323x2y2
∴a＝2，又＝∴b＝a＝.故双曲线方程为－＝1.
a33344
3
答案：－＝1 44
3
9.(1)求与双曲线－＝1有共同渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线的方程．
916
x2y2
x2y2
(2)已知双曲线的一条渐近线方程为x－3y＝0，且与椭圆x＋4y＝64共焦点，求双曲线的方程．
912
解：(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入，得－＝λ，
9169161
解得λ＝. 4
4xy所以所求双曲线方程为－＝1.
94
2
2
22
x2y2
x2y2
(2)法一：椭圆方程可化为＋＝1，易得焦点是(±43，0)．设双曲线方程为2－2
6416ab＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程是y＝±x，则＝x2y2
baba32222
.代入a＋b＝c＝48，解得a＝36，3
b＝12.所以所求双曲线方程为－＝1.
36
12
法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x－3y＝0，则另一条渐近线方程为x＋3y＝0.
已知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x－3y＝λ(λ>0)，即－＝1.
λλ
3λ222
由椭圆方程＋＝1知c＝a－b＝64－16＝48.因为双曲线与椭圆共焦点，所以λ＋＝
6416348，则λ＝36.
所以所求双曲线方程为－＝1.
3612
10.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C的方程；
→→
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
2
2
2
x2y2
x2y2
x2y2
x2y2
x2y2
解：(1)设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)．
ab由已知得a＝3，c＝2，再由a＋b＝2，得b＝1. 故双曲线C的方程为－y＝1.
3(2)将y＝kx＋2代入－y＝1得
3(1－3k)x－62kx－9＝0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得
2
2
2
2
2
2
x2
2
x2
2
?1－3k≠0，
?222
?Δ＝（－62k）＋36（1－3k）＝36（1－k）>0，
122
即k≠且k<1.(*)
3
2