§1．1 因动点产生的相似三角形问题

课前导学

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．

如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分

ABDEABDF和两种情况列方程． ??ACDFACDE应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．

求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好． 如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？

我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．

图1

例 1 2019年湖南省衡阳市中考第28题

二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．

（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；

（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；

（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？

2

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，△APC的面积最大．拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD和∠ADC都可以成为直角． 思路点拨

1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．

2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC．

3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似． 4．直角三角形ACD存在两种情况． 图文解析

（1）因为抛物线与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设y＝a(x＋3)(x－1)． 代入点C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a＝m．

所以该二次函数的解析式为y＝m(x＋3)(x－1)＝mx＋2mx－3m． （2）如图3，连结OP．

当m＝2时，C(0,－6)，y＝2x＋4x－6，那么P(x, 2x＋4x－6)．

2

22

1322

由于S△AOP＝OA?(?yP)＝?(2x＋4x－6)＝－3x－6x＋9，

221S△COP＝OC?(?xP)＝－3x，S△AOC＝9，

23272

所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x－9x＝?3(x?)2?．

24327所以当x??时，S取得最大值，最大值为．

24图3 图4 图5

（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E．过点A作x轴的垂线交DE于F． 由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2

－4m，得D(－1,－4m)． 在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m．

如果△ADC与△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m．①如图4，当∠ACD＝90°时，OAOCEC?ED．所以3m?3m1．解得m＝1． 此时CACD?OCED?3，OCCAOCOB?3．所以CD?OB．所以△CDA∽△OBC． ②如图5，当∠ADC＝90°时，

FAED?FDEC．所以4m1?2m．解得m?22． 此时

DAFD2OC32DC?EC?m?22，而OB?3m?2．因此△DCA与△OBC不相似． 综上所述，当m＝1时，△CDA∽△OBC． 考点伸展

第（2）题还可以这样割补：

如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H． 由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)． 又因为P(x, 2x2

＋4x－6)，所以HP＝－2x2

－6x． 因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两距离3，所以

S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH

＝

32(－2x2

－6x) ＝?3(x?3272)2?4． 图6

点间的水平