ui?lnSi，表示第i天的连续复利收益率①，i =1，2，?，n。 Si?1则预期收益率的估计值（u）就等于ui的均值：

1n u??ui

ni?1收益率的均方差（?）的无偏估计为： ??1n?ui?u?2 ?n?1i?1现假设有两种证券1和2，其连续复利年收益率分别为u1i和u2i，收益率的均值分别为u1和u2，均方差分别为?1、?2，则其协方差（?1，2）的无偏估计为：

?1，21n??u1i?u1??u2i?u2?? ??n?1i?1两种证券的相关系数（?1，2）的估计值为：

?1，2??1，2 ?1?2本书所附光盘中有一个根据上述方法用2002年5月29日至2002年7月9日之间招商银行与陆家嘴股票的收盘价格估计这两种股票在2002年7月10日的预期收益率、均方差、协方差和相关系数的EXCEL模板。作为一个简单的例子，我们取样本期间长度为30个交易日。

应该注意的是，根据历史数据估计未来的预期收益率存在很大的局限性，在实际应用时要特别小心。例如，根据这段时期估计的招商银行股票的连续复利预期年收益率高达213.61%，这显然有问题。这也是目前有关股票预期收益率的大多数经验研究（有人称为实证研究）所存在的问题。

值得一提的是，EXCEL本身就有求均值、标准差、协方差和相关系数的函数，其函数名分别为AVERAGE、STDEV、COVAR和CORREL。只是EXCEL中的COVAR计算公式为：

?1，2

习题答案： 1． （3） 2． （2） 3． （4）

1n????u1i?u1??u2i?u2?? ni?1 ①

如果该股票当天有分红派息、增发、拆息等行为，则应对当天的收盘价进行复权。

50

4． （4） 5． (1)

6． 贝塔系数=30%×1.2+20%×0.6+10%×1.5×40%×0.8=0.95 7． 1/3×1.6+1/3×X=1,X=1.4

8． 对于A=4的投资者而言，风险资产组合的效用是： U=20%-0.5×4×20%=12%

而国库券的效用是7%，因此他会选择风险资产组合。 对于A=8的投资者而言，风险资产组合的效用是： U=20%-0.5×8×20%=4% 因此他会选择国库券。 9． 风险资产组合的效用为： U=14%-0.5A×20%

国库券的效用为6%。为了使他更偏好风险资产组合，14%-0.5A×20%必须大于6%，即A必须小于4。为了使他更偏好国库券，14%-0.5A×20%必须小于6%，即A必须大于4。

10． （1）尽管孤立地来看黄金的预期收益率和标准差都不如股票理想，但如果股票和黄金的相

关系数很小（如图中的实线所示），投资者通过持有部分黄金仍有可能提高投资效用。 （2）如果股票和黄金的相关系数等于1（如图中的虚线所示），则任何理性的投资者都不会持有黄金的多头。此时黄金市场显然无法取得均衡。人们卖出或卖空黄金的结果将使黄金价格下跌、收益率提高。

预期收益率2

2

2

22

股票 ?=1 ?<1 黄金 标准差 11． 无差异曲线上的点必须满足效用函数： U?R?

1A?2 22

（1） 将A=2，U=6%代入上式得：R=6%+?

利用这个式子，我们可以得到与不同的?值相对应的R值，如下表：

51

? 0% 5% 10% 15% 20% 25% R 6% 6.25% 7% 8.25% 10% 12.25% 将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U1所示。

（2） 将A=4，U=5%代入上式得：R=5%+2?

2

利用这个式子，我们可以得到与不同的?值相对应的R值，如下表：

? 0% 5% 10% 15% 20% 25% R 5% 5．5% 7% 9．5% 13% 17．5% 将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U1所示。

（3） 将A=0，U=6%代入上式得：R=6%。

可见该投资者的无差异曲线就是一条经过（0，6%）点的水平线，如图中U3所示。

（4） 将A=-2，U=6%代入上式得：R=6%-?

2

利用这个式子，我们可以得到与不同的?值相对应的R值，如下表：

? 0% 5% 10% 15% 20% 25% R 6% 5．75% 5% 3．75% 2% -0.25% 将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U4所示。

52

预期收益率 U2 U1 U3 标准差 U4

12． （1）投资者会选择效用最高的风险资产。第1至4种风险资产的效用分别为-8%、-17%、

12% 和7%，因此他会选择第3种风险资产。

（2）风险中性者会选择预期收益率最高的第4种风险资产。

13． （1）组合的预期收益率=国库券的权重×国库券收益率+指数的权重×指数的预期收益率 由于国库券的标准差为0，其与指数的协方差也为0，因此组合的标准差=指数的权重×

指数的标准差。计算结果如下表所示。

国库券的权重 0 0．2 0．4 0．6 0．8 1．0 指数的权重 1．0 0．8 0．6 0．4 0．2 0 组合的预期收益率 12．5% 10．8% 9．1% 7．4% 5．7% 4% 组合的标准差 20% 16% 12% 8% 4% 0 （2）当A=2时，组合的效用U=组合的预期收益率-组合的方差，我们有： 国库券的权重 0 0．2 0．4 0．6 0．8 1．0

指数的权重 1．0 0．8 0．6 0．4 0．2 0 53

组合的效用（A=2） 8．5% 8．24% 7．66% 6．76% 5．54% 4%