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图3-7-16

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α的值. 【导学号：51062130】

[解] (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.4分 在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝12＋20－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28. 所以渔船甲的速度为＝14海里/小时.8分

2

(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝

，10分 sin 120°

12×2832

2

2

BCABsin αBC即sin α＝

ABsin 120°

＝

BC33＝.14分 14B组 能力提升

(建议用时：15分钟)

1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( )

A．50 m C．120 m

B．100 m D．150 m

A [设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)＝h＋100－2·h·100·cos 60°，即h＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m．]

2．如图3-7-17，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠

2

2

2

2

MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.

图3-7-17

150 [根据图示，AC＝1002 m.

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在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得＝?AM＝1003 m.

sin 45°sin 60°在△AMN中，＝sin 60°， ∴MN＝1003×

3

＝150(m)．] 2

ACAMMNAM3．如图3-7-18已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶

A，B之间的距离．

图3-7-18

[解] 在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝1003，连接QM(图略)，在△PQM中，∠QPM＝60°，4分

又PQ＝1003， ∴△PQM为等边三角形， ∴QM＝1003.8分

在Rt△AMQ中，由AQ＝AM＋QM，得AQ＝200. 在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200， ∴BQ＝1005，cos θ＝

2

22

2

2

5

.12分 5

2

2

在△BQA中，BA＝BQ＋AQ－2BQ·AQcos θ＝(1005)， ∴BA＝1005.

即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米.14分

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