*1-16如图所示，一弯曲杆OA可绕Oy的轴转动，OA上有一个小环，可无摩擦地沿
OA运动．当OA绕Oy轴以角速度 ? 转动时，欲使小环与杆OA保持相对静止，
y试求杆OA的形状 （即给出函数关系y?f(x)??）．
A
?原题 2-8 N ?mg
? Ox 题1-16图
*1-17 以初速率 ?0 从地面竖直向上抛出一质量为 m 的小球，小球除受重力外，
还受一个大小为 ? m?2 的粘滞阻力（?为常数，?为小球运动的速率），求当小球回到地面时的速率．P25 2-1 解：取地面为原点，y轴正向竖直向上．
小球上抛时，由牛顿第二定律有 ?mg?? m?2?md?
dtm? d?dyd??dy 变量替换 d??有 ?mg?? m?2?m?d?，即 ???d?，
dydtdtdydymg?? m?2积分
?0?0?hm? d??dy 20mg?? m??21mg?? m?0ln得最大高度 h? ① 2?mg小球下落时，由牛顿第二定律有 ?mg?? m?2?md?
dtm? d??dy 变量替换后有 ?mg?? m?2?m?d?， 即 ?dymg?? m?2积分
???100m? d?1mg??dyh?ln 得 ②
hmg?? m?22?mg?? m?12?2?0g1mg?? m?01mg??ln?ln由①、②式有，解得： 1 2?mg2?mg?? m?12??02?g 6
作业3 刚 体
3-1 一飞轮的转动惯量为J，在 t = 0时角速度为?0，此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度?的平方成正比，比例系数k > 0，当???03时，飞轮的 角加速度?? ，从开始制动到???03时，所经过的时间 t = . 29J 解：由转动定律：M??K?2?J? 将???03代入 得 ???k?0由 ?K?2?J??Jd? dt??03?o?d??2??t02Jk dt 解得 t??0kJ3-2 一滑轮半径为10cm, 转动惯量为 1.0?10?2 kg?m2,有一变力 F?0.50t?0.30t2 (N)沿切线方向作用在滑轮的边沿上，滑轮所受力矩为 0.05t?0.03t2 N?m．如果滑轮最初处于静止状态，则在3.0s后的角速度为 49.5 rad/s． 解：M?rF?0.10?0.50t?0.30t2?0.05t?0.03t2 N?m
???M?Jd???Mdt??Jd??dt??1.0?10?o?2?? d????0.05t?0.03t? dt???49.5rad/s
3.02o
3-3 如图，滑块A，重物B和滑轮C的质量分别为mA = 50 kg，mB = 200 kg和mC = 15 kg，滑轮半径为R = 0.10 m，J0?mCR22，A与桌面之间，滑轮与轴承间均无摩擦，绳质量可不计，绳与滑轮间无相对滑动．求滑块A的加速度及滑轮两边绳中的张力．
解：P110 6.3 TA?MAa （1）
A C mBg?TB?mBa（2）
(TB?TA)R?J??mCR2?2（3）
a?R? （4）
mBg 所以 a? = 7.61 m/s2
mA?mB?mc2TA?MAa= 381 N
B 题3-3图
TB?mB(g?a)= 440 N
7
3-4 如图所示，一半径为R质量为m的均匀圆盘，可绕水平固定光滑轴转动，转动惯量为 J = mR2/2，现以一轻绳绕在轮边缘，绳的下端挂一质量为m的物体，求圆盘从静止开始转动后，它转过的角度和时间的关系． R m O
原题 5-2
m 题3-4图
3-5 以力F 将一块粗糙平面紧压在轮上，平面与轮之间的滑动摩擦系数为?，轮的初角速度为 ?0，问转过多少角度时轮即停止转动？已知轮的半径为R，质量为m，可视为匀质圆盘，转动惯量为 J = mR2/2；轴的质量忽略不计；压力F均匀分布在轮面上． P115 6.13
粗解：以轮心为中心，r为半径，取宽为dr的细环，
轮糙2轴细环上压力为 dF?(Fπ R)?2π r?dr， 平面细环上摩擦力为 df?? dF?2?(FR2)r dr
df对轴的力矩为 dM?? r df?2?(FR2)r2dr 总摩擦力矩为 M?dM?2?(FR2)20题3-5图
??R0r2dr?2?FR3
23mR?0由动能定理 ?M????0?J?2 ∴ ???
8?F
3-6 已知滑轮对中心轴的转动惯量为J，半径为R，物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为?，物体与斜面间光滑，系统从静止释放， 且释放时绳子无伸长（如图所示），求物体下滑x距离时的速率． 原题 5－5 解：∵ 仅保守力作功，∴ 机械能守恒
1kx2?1J?2?1m?2?mgxsin?
222kxm?2mgxsin??kx2?R 而 ???R ∴ ??mR2?J
8
题3-6图
3-7 氧分子对垂直于两氧原子连线的对称轴的转动惯量为1.94?10?46kg?m2，氧分子质量为5.30?10?26kg．若氧气中有一个氧分子具有500 m/s 的平动速率，且这个分子的转动动能是其平动动能的2/3．这个分子转动角速度大小为 6.75×1012 (rad/s)．
解：Ekr?J?22，Ekt?m?22，Ekr?2Ekt3，??2m(3J)?= 6.75×1012(rad/s) P116 6.14
3-8 一人手执两个哑铃，两臂平伸坐在以?0角速度旋转的转轴处，摩擦可不计，现突然将两臂收回，转动惯量为原来的1/3，则收臂后的转动动能是收臂前的 3 倍．
22 解：J0?0?J0?3 收臂后角速度 ??3?0 ，收臂前动能 Ek?J0?02收臂后动能 Ek???J03??3?0?2?3J0?02 ∴Ek?Ek?3
2
3-9 质量为m，半径为R的匀质薄圆盘，可绕光滑的水平轴 O?在竖直平面内自由转动，如图所示，圆盘相对于轴的转动惯量为 3mR22，开始时，圆盘静止在竖直位置上，当它转动到水平位置时，求：(1) 圆盘的角加速度；(2) 圆盘的角速度；(3) 圆盘中心O点的加速度． y
OA
原题 5－9
B OxO?
题3-9图
3-10 质量分别为m和2m，半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小． 2rr
原题 5－10
m
9
m题3-10图
3-11 质量为m，长为L的匀质木棒可绕Ｏ轴自由转动，转动惯量为 J = mL2/3，开始木棒铅直悬挂，现在有一只质量为m的小猴以水平速度v0抓住棒的一端（如图），求：⑴ 小猴与棒开始摆动的角速度；⑵ 小猴与棒摆到最大高度时，棒与铅直方向的夹角．
原题 5-7
题3-11图
3-12 如图所示，一质量m、长 l 的匀质细杆，以O点为轴，从静止在与竖直方向成?0角处自由下摆，到竖直位置时与光滑桌面上一质量也为m的静止物块（可视为质点）发生弹性碰撞，已知杆对O轴的转动惯量为ml23．求：⑴棒开始转动时的角加速度;
⑵ 棒转到竖直位置碰撞前的角速度?1及棒中央点C的速度?C1． O⑶ 碰撞后杆的角速度?2和物块的线速度?2．
lm?0C解：⑴ 由转动定律 M?J? M?mgsin?0
2C3gsin?0联立求得 ??（rads2）
2lm⑵ 棒从?0角转到竖直位置过程，机械能守恒有：
题3-12图
l12l122 mg?1?co?s0??J?1， mg?1?co?s0??ml?1
2226得： ?1?3g?1?co?s0?l1 ①， ?C1??1?3gl?1?co?s0?
l22⑶ 棒与物块在弹性碰撞过程中对转轴的角动量守恒，有：
121ml?1?ml2?2?ml?2 ② 331111122由机械能守恒，得： ?ml2?12??ml2?2 ③ ?m?223232联立 ① ② ③ 式得：
?2?
13g1?1?co?s0? （逆时针反转） 3gl1?cos?0 ?2??2l2??10