2019年高三人教A版数学一轮复习练习:第六章不等式、推理与证明第7节(理)(1) 下载本文

哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊第六章 第7节(理)

[基础训练组]

1.(导学号14577597) 用数学归纳法证明“2n>2n+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取( )

A.2 C.5

B.3 D.6

解析:B [∵n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立; n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立; n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立. ∴n的第一个取值n0=3.]

111127

2.(导学号14577598)用数学归纳法证明不等式1+++…+n-1>(n∈N*)成立,

24642其初始值至少应取( )

A.7 C.9

B.8 D.10

1

1-n2127111

解析:B [1+++…+n-1=>,整理得2n>128,解得n>7,所以初始值至

241642

1-2少应取8.]

3.(导学号14577599)对于不等式n2+n

(1)当n=1时,12+1<1+1,不等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即k2+k

D.从n=k到n=k+1的推理不正确

解析:D [在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.]

4.(导学号14577600)凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为( )

和任何人呵呵呵 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊A.f(n)+n+1 C.f(n)+n-1

B.f(n)+n D.f(n)+n-2

解析:C [边数增加1,顶点也相应增加1个,它与和它不相邻的n-2个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加n-1条.]

5.(导学号14577601)用数学归纳法证明:“(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为( )

A.2k+1 2k+1C. k+1

B.2(2k+1) 2k+3D. k+1

解析:B [n=k+1时,左端为(k+2)(k+3)·…·[(k+1)+(k-1)][(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)·…·(k+k)[2(2k+1)],

∴应乘2(2k+1).]

6.(导学号14577602)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=k(k∈N*)命题为真时,进而需证n= ________ 时,命题亦真.

解析:n为正奇数,假设n=k成立后,需证明的应为n=k+2时成立. 答案:k+2

7.(导学号14577603)若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是 __________ .

解析:∵f(k)=12+22+…+(2k)2,

∴f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2; ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. 答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 8.(导学号14577604)用数学归纳法证明

?1+1??1+1??1+1?…?1+k1?>2k+1 (k>1),则当n=k+1时,左端应乘上_______, ?3??5??7??2-1?2

这个乘上去的代数式共有因式的个数是______________________________________. 1

解析:因为分母的公差为2,所以乘上去的第一个因式是?1+2k+1?,最后一个是

??

?1+k+1?,根据等差数列通项公式可求得共有?21?2-1?

k+1

-1?-?2k+1?--

+1=2k-2k1=2k1项.

2

1??1??1?k-1?1+1+1++答案:

?2k+1??2k+3?…?2k1-1?2

9.(导学号14577605)平面上有n个圆,每两圆交于两点,每三圆不过同一点,求证这n个圆分平面为n2-n+2个部分.

证明:(1)当n=1时,n2-n+2=1-1+2=2,而一圆把平面分成两部分,所以n=1命题成立.

和任何人呵呵呵 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊(2)设n=k时,k个圆分平面为k2-k+2个部分,则n=k+1时,第k+1个圆与前k个圆有2k个交点,这2k个交点分第k+1个圆为2k段,每一段都将原来所在的平面一分为二,故增加了2k个平面块,共有(k2-k+2)+2k=(k+1)2-(k+1)+2个部分.

∴对n=k+1也成立.

由(1)(2)可知,这n个圆分割平面为n2-n+2个部分.

11

10.(导学号14577606)已知数列{xn}满足x1=,xn+1=,n∈N*.猜想数列{x2n}的单

21+xn

调性,并证明你的结论.

11

解:由x1=及xn+1=,

21+xn2513

得x2=,x4=,x6=,

3821

由x2>x4>x6猜想:数列{x2n}是递减数列. 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时,已证命题成立.

(2)假设当n=k时命题成立,即x2k>x2k+2, 易知xk>0, 那么x2k+2-x2k+4==

x2k+3-x2k+111

-= 1+x2k+11+x2k+3?1+x2k+1??1+x2k+3?

x2k-x2k+2

>0,

?1+x2k??1+x2k+1??1+x2k+2??1+x2k+3?

即x2(k+1)>x2(k+1)+2.

也就是说,当n=k+1时命题也成立. 结合(1)和(2)知命题成立.

[能力提升组]

11.(导学号14577607)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( )

A.n+1 n2+n+2C.

2

B.2n D.n2+n+1

解析:C [1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;……,n条直线最多可将平n?n+1?n2+n+2

面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域.]

22

12.(导学号14577608)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N*,f(n)都能被m整除,则m的最大值为( )

和任何人呵呵呵