第六章 三角函数

6.4.1 反三角函数

【课堂例题】

例1.写出下列角的弧度数：

1? 2(2)arcsin1?

(1)arcsin(3)arcsin(?(4)arcsin0?

例2.求下列各式中的角(用反正弦表示)： (1)sinx?

(2)sinx?2)? 22??,x?[?,] 5221,x?[0,?] 3

课堂练习 1.求值：

(1)arcsin(?1)?

3)? 2(3)arcsin0.457? (利用计算器，精确到0.01) (4)sin(arcsin0.6)? 2.求下列各式中的角x

13?(1)sinx?,x?[0,] (2)sinx??,x?[0,2?]

742(2)arcsin(?

3.不使用计算器计算：

(1)cos(2arcsin) (2)sin[arcsin

(3)tan(arcsin0.8)

4.已知x?[?1,1]，求证：

1311?arcsin(?)] 3412arcsin(?x)??arcsinx

第六章 三角函数

6.4.1 反三角函数

【知识再现】

1.一般地，对于正弦函数y?sinx，如果已知函数值y(y?[?1,1])，那么在 上有唯一的x值和它对应，记为x?arcsiny，称x为y的 .

2.arcsiny(y?[?1,1])表示一个 的角. 【基础训练】 1.填空：

13? ；arcsin(?)? ;

222arcsin1? ；arcsin(?)? .

2arcsin2.填空：

1sin(arcsin)? ； cos(arcsin1)? .

43.计算下列各角的弧度数(精确到0.0001)

(1)arcsin0.2672? ；

(2)arcsin(?0.3322)? . 4.?ABC中， 如果cosA??5.用反正弦函数表示下列角x： (1)sinx?

(3)sinx??,x?[?,3，那么A用反正弦函数可以表示为 . 51?5??,x?[?,]； (2)sinx?,x?[,?];

42522133?] 2

6.不使用计算器计算：

(1)sin(2arcsin); (2)cos(arcsin

(3)tan[arcsin(?)]； (4)cot(arcsin).

1325?arcsin)； 213121437第六章 三角函数

7.计算并回答问题：

arcsin(sin)? ；arcsin(sin1)? ；

35??arcsin(sin)? ；arcsin[sin(?)]? .

?6)?x5请问arcsin(sinx成立的充要条件是什么？(无需证明)

【巩固提高】

8.在?ABC中，已知A?arcsin15，B?arcsin513， 求C的精确值和近似值(精确值用反正弦来表示，近似值保留3位小数).

9.求证：arcsin35?arcsin45??2

(选做)10.(1)求证：当x?[??2,?2]时，arcsin(sinx)?x.

(2)已知sinx?a,a?[?1,1],x?[2k???,2k???22],k?Z，求x.

【温故知新】

11.已知函数f(x)?lg(3x?1),x?[0,3]，求f?1(x).

第六章 三角函数

【课堂例题答案】

???；(2)；(3)?；(4)0.

462211例2.(1)x?arcsin;(2)x?arcsin或x???arcsin

533例1.(1)

【课堂练习答案】 1.(1)??233112.(1)x?arcsin;(2)x???arcsin或2??arcsin

4777115?223.(1);(2);(3)

92124.证：sin[arcsin(?x)]??x，sin(?arcsinx)??sin(arcsinx)??x

又arcsin(?x)?[?;(2)??;(3)0.47;(4)0.6

,],?arcsinx?[?,]且y?sinx在[?,]上是单调增函数， 222222因此arcsin(?x)??arcsinx 证毕

【知识再现答案】 1.[?2.[???????????,]，反正弦函数 22,]上且正弦值为y 22【习题答案】 1.

?362412.,0 43.(1)0.2705;(2)?0.3386

44.??arcsin

51155.(1)x?arcsin;(2)x???arcsin;(3)x???arcsin

43524217210 6.(1);(2);(3)15?4;(4)39267.

,???,,??

,]

3652212?106?2.545rad?145.843 8.C???arcsin6533?4439.证：sin(arcsin)?，sin(?arcsin)?cos(arcsin)?

5525553???4??3?4又arcsin?[?,],?arcsin?[?,]，因此arcsin??arcsin 证毕

522252252510.(1)证：arcsin(sinx)?[?因此arcsin(sinx)?x 证毕

?,1,?,??,x?[?????,],x?[?,]，又sin[arcsin(sinx)]?sinx

2222??第六章 三角函数

(2)x?2k??[?,]又sin(x?2k?)?sinx?a，因此x?2k??arcsina， 22即x?2k??arcsina,k?Z

1x?111.f(x)?(10?1),x?[0,1]

3??