武汉理工大学有限元分析基础教案

例2 变厚度圆筒的压力容器，受有内压，试用有限元法计算圆筒内外壁的应力。

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第二章 内容小结

一，基础理论

1，外力、应力、应变和位移的概念 2，两类平面问题的区分 3，弹性力学的3大方程 4，位移相容方程的理解 5，虚功方程 二，有限元概念 1，单元划分的原则

2，位移模式、形函数及其性质、保证有限元解收敛的条件 3，单元刚度矩阵的推导过程 4，非节点载荷的等效移置

5，总刚矩阵的组集原则、规律和方法 6，总刚矩阵的半带宽压缩存取方法 7，边界条件的类型及处理方法 8，应力求解及平滑处理的措施 三，三种单元的不同之处 1，三节点三角形单元 2，四节点矩形单元 3，六节点三角形单元

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第三章 轴对称问题、空间问题和等参数元问题

工程中有许多零件是对称于一条轴线的回转体，如飞轮、螺杆和发动机的汽缸套等。当它们受到的载荷和约束也是对称于他的轴线时，弹性力学就将其归属于轴对称问题求解。与平面问题类似，也是将空间问题，简化为二维问题处理。

本章的主要内容

轴对称问题的基本方程 轴对称问题的有限元方法 空间问题的基本方程 空间问题的有限元方法 等参数元的概念

§3.1 轴对称问题的基本方程

根据轴对称问题的特点，一般分析时采用圆柱坐标系，而不是直角坐标系，所以首先我们应该清楚两者之间的转化关系：

直角坐标与柱面坐标的关系：

?x?rcos??x?r??y?rsin? 自变量??y?? ?z?z?z?z??子午面：就是通过roz的任一平面，它是一对称面。轴对称的弹性体变形后，其子午面上任意一点P只在该平面上发生位移，而与θ无关。即P点的应力、应变和位移都只是r、z的函数，所以轴对称问题也是二维问题。

弹性体变形后，不发生歪曲，所以任一点只有径向位移u和轴向位移w。

?????uw?

T如左图所示的微元体，其应力分量

??????r???z?rz?T

相应的应变分量

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??????r???z?rz?T

其中的?r/?z/?rz与u、w类似于平面问题中的关系，即

??r????r?????z???0??????rz???z0??u????z???

w?????r?现在我们要推求的就是轴对称问题中不同的??，看左图可以推出：

????r?u?d??rd?rd??u r综合起来，就是轴对称问题的几何方程：

????r??r??1????????r?????z??????rz???????z?????u???? ???w??z?????r?其物理方程参照直角坐标系中的可以写出：

1????rE??r???????z???1???????????r??z???E ?1??z???z???????r??E?2?1???1??????rzrzrz?EG?转化为应变表示应力的矩阵形式：

??1?1????r?????E?1????1????????????????1??1?2???z?????rz?????虚功方程的柱面坐标表达式：

*T*T*T?1???1??1?????r???0???????? ?0??z??rz?1?2??????2?1?????0????F???????????rdrd?dz?2?????????rdrdz

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