有限元分析基础教案(武汉理工) 下载本文

武汉理工大学有限元分析基础教案

法进行。那么弹性力学如何在实际中进行应用,它们和我们前面学过的材料力学区别究竟在哪里?我们将通过这一节的学习,一方面了解如何应用这些弹性力学的方程求解问题,另一方面加深对力学概念的理解,建立力学分析问题的直观感觉,为建立有限元模型打好基础。

我们知道在大多数情况下,我们分析的对象,体力是常数,它不随x、y坐标变化。如此以来,前面讲解的第三个方程(应力表示的相容方程),就可以简化为了:

??2?2???x2??y2??2????x??y??0 简记为:???x??y??0 ?以上方程称为拉普拉斯微分方程,数学上也称之为调和方程,满足调和方程的函数称之

2为调和函数,及这里的?x??y。?是拉普拉斯算子。

??这样以来常体力情况下的应力法方程就是: ???x????yx???X?0????????x???y????y???y?????xy? ??????x???Y?0????2??x??y??0

以上方程都不含有材料常数E、μ,所以平面应力和平面应变两类问题具有相同的方程,

这表明:在单连体问题中,只要边界相同、受同样的分布外力,应力分布与材料无关;也与是平面应力还是平面应变的状态无关。

以上结论的意义:

1弹性力学平面解答的应用范围加宽。 ○

2为实验应力分析提供了理论依据(光弹实验) ○

下面我们考察平衡方程:

???其解由???x???其次微分方程的通解,加上任意一组特解组成。 ?yx??0??????x???y????y????xy? ???y??????x???0????特解我们可以很容易找到。如:?x??Xx ?y??Yy ?xy?0 所以现在关键是找其次方程的通解。

???由第一个方程,可得:???x?????yx??????x???y???????xy?,由数学微分理论,该式是一个函数全微?y分的充要条件。所谓全微分就是有一个函数

dA??xdy????xy?dx 且 ?x??A?A ??xy? ?y?x同理由第二式可得:?y??B?B ??xy?

?y?x由剪应力公式又知存在一个函数φ,可以使d??Bdy?Adx

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∴A????? B? 故: ?y?x?2??2??2? ?x?2 ?y?2 ?xy???y?x?x?y由于应力与函数φ存在这样的关系,因此函数φ即是应力函数。

我们用应力函数来表示相容方程:

??2??2?2??2???2?2????x2??y2????x??y?????x2??y2?????x2??y2????0 ???????2?2???4??0

上式表明φ是重调和函数。

前面讲过在弹性力学中,常用逆解法和半逆解法。

所谓逆解法就是设定各种满足相容方程的应力函数,运用σx、σy与φ的关系,求得应力分量,再考察其满足何种边界条件,从而知晓这样的应力函数可以解决什么问题。

所谓半逆解法就是根据弹性体的边界形状和受力关系,设定部分应力分量为何种形式的函数,从而确定应力函数φ,在运用应力函数求出所有的应力分量,根据边界条件确定应力分量应具有的最终形式。 下面我们来看一个半逆解法的例子。 运用逆解法求简支梁受均布载荷的应力分布。 由材料力学知,弯曲应力主要由弯矩M引起,剪应力由剪力引起,而挤压应力由分布载荷q引起。现在q为不随x变化的常量。因此我们设σy不随x坐标变化,即?y?f?y?,

?2??f?y? 因此 ?y?2?x我们对x积分:

???xf?y??f1?y? ?x武汉理工大学教务处制 17

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x2??f?y??xf1?y??f2?y?

2上式中f1(y)、f2(y)是待定函数。由于应力函数必须满足相容方程,所以:

?4??4??4?1 ???4?222?4?0 ○

?x?x?y?y4?4??4?d2f?y??0 22? 42?x?x?ydyd4f1?y?d4f2?y??4?x2d4f?y?1中 代入到式○??x?44442dy?ydydyd4f1?y?d4f2?y?1d4f?y?2d2f?y?x?x??2?0 44422dydydydy考察上式可以看出它是一个x的二次方程,所以一般情况下只有两个根。也就是说只有两个位置能够满足上式。但我们对相容方程的要求是绝对满足。也就是要求在整个梁的范围内都满足。所以只有该方程的系数项和自由项全部为零。即:

d4f1?y?d4f2?y?d2f2?y?d4f?y??0 ?0 ?2?0 4442dydydydy2 ∴f?y??Ay?By?Cy?D ○

323 f1?y??Ey3?Fy2?Gy ○

d4f2?y?d2f?y???2??12Ay?4B 42dydyf2?y???A5B44 y?y?Hy3?Ky2 ○

1063、○4中分别省掉了常数项和一次项、常公式中的A.、B、C…K都是待定系数。公式○

数项。这是由于f1(y)和f2(y)分别是应力函数中x的一次项和常数项的原因,这样处理不会对应力分量产生影响。

最后求出的应力函数为:

x2AB??Ay3?By2?Cy?D?xEy3?Fy2?Gy?y3?y4?Hy3?Ky2

2106????由应力与应力函数的关系,可以求出各个应力分量:

?2?x2?x?2??6Ay?2B??x?6Ey?2F??2Ay3?2By2?6Hy?2K2?y?y?Ay3?By2?Cy?D

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?xy??x?2Ay2?2By?C???3Ey2?2Fy?G?

由于以上求得的应力分量满足了平衡方程和相容方程,所以只需根据边界确定A…K的系数,就求得了该问题的解。

根据对称性,知道为偶函数,为奇函数,所以有E=F=G=0

通常梁的跨度远大于梁的深度,因此上下边界是主要边界,它们必须满足。

???yy?h2?0 ??y?y??h??q ??xy?y??h?0

22将它们代入的表达式,并且考虑E=F=G=0

h3h2hA?B?C?D?0 842h3h2h?A?B?C?D??q 84232hA?hB?C?0 432hA?hB?C?0 4以上四个方程解四个未知数,求得:

A??有:

2q3qq B=0 将他们代回到应力分量的表达式中,也就C?D??2h2h36q26q3xy?y?6Hy?2K 33hh2q3qq?y??3y3?y?

2h2h6q3q?xy?3x2y?x

2hh?x??左右两个边界,由于前面已经考虑了对称性,所以这个仅考虑优边界。

没有水平力。要x=l时,σx=0,考察σx的表达式,除非q=0。而这和已知条件相违背。所以在这个边界上我们只能要求部分满足。运用圣维南原理运用等效力系代替它。(这样产生的误差只在力作用点附近较大)。运用的等效力系就是合成力系为平衡力系:

?h2h2????h2xx?ldy?0 合力等于0

?h2????xx?lydy?0 合力矩等于0

ql2q由第一个条件得K=0,(奇函数在对称区间上的积分为零);由第二个条件得H?3?

10hh可以证明剪应力的合力为-ql。即

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?h2????h2xyx?ldy??ql

最终求得的结果,加以整理:

6q2y?y23?2 ?x?3?l?x?y?q?42???h?h5?h?q?y??2y??y???1???1??2?h??h?

2?xy6q?h22????3x??y?? h?4?h3h2y2?由于厚度为“1”,此时其惯性矩I?,静矩S?(计算见图)

1282任意一点的弯矩M?ql?l?x??剪力Q??ql?q?l?x???qx

q?l?x?2?ql2?x2 22?? 所以上式中的应力分量可以改写为:

My?y23??x?y?q?42?? ?Ih?h5??q?y??2y??y???1???1??2?h??h?

2?xy?QS I各项应力的分布

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