第六讲 行程问题8-时钟问题 下载本文

第六讲 行程问题(8)——时钟问题

【知识精要】

同学们有没有注意过墙上挂的大钟或者手上的手表,以大钟为例子,钟上面有三根针:时针分针和秒针,有的时候,这些指针会形成独特的图形,比如12点整的时候,三根针会

重合12点的那个地方,而6点整的时候,时针和分针会成一条直线,其中时针指6,分针指12。如果形象地去想象,12点的时候,就好像三根针在同一起跑线上开始出发,秒针跑得最快,很快就走过了一圈又一圈,分针慢一些,一步一步挪着步子,而时针就像一个年迈的老人,老半天才能走一格,这样的赛跑每天每时每刻都在进行,这一讲,我们就来探讨时针分针秒针他们赛跑的问题,这也可以看作一类行程问题,我们就来看看其中的奥妙。

既然我们把这类问题看做行程问题,就会遇到行程问题一个一贯的问题:路程,速度与时间之间的

关系,可是既然是在时钟上做文章,时间肯定不成问题,时针分针秒针自己的运动就代表着时间的标准,但是路程和速度如何计算呢?同学们肯定能想到,整个钟面就像一个环形跑道,那么时钟问题也一定和环形跑道有着千丝万缕的联系,再想得深刻一点,我们可以发现,时针分针秒针都是沿着同样的方向,就是我们平时所说的“顺时针”方向在移动,既然不存在相向和相背的运动,这类问题就只剩下追及问题了,所以时钟问题抽象出来,实质就是环形跑道上的追及问题。

可是上面的问题还没有解决,如何来衡量路程和速度,不同的钟面大小不一样,钟楼顶层的大钟,半径可能有好几米,而我们平时手上戴的手表,半径才1厘米左右,这样,我们的速度和路程也就变得非常复杂,有没有什么可以简单计算的方法呢?我们知道,生活常识告诉我们,秒针每分钟走一圈,分针每小时走一圈,而时针呢,要12小时才能走一圈,如果我们把钟面按照刻度划分成12个格子的话,就相当于时针每小时走1格,分针每小时走12格,如此等等,如果再仔细想一想,如果我们把钟面看作一个普通的圆,刻度就是在圆周上的12等分,把等分点和圆心相连,

就得到12个30度的圆心角,而三根时针正是在“跑”这样的圆心角,一圈的路程就是360度,而每一格就相当于30度,这样形容速度,所有的钟面就都很清楚了,时针每小时走一格就是60分钟走30度,相当于每分钟0.5度,分针每小时走一圈就是60分钟走360度,相当于每分钟6度,而秒针每分钟就能走一圈,也就是每分钟360度,这样他们的速度也就能表示出来了,当然,我们还可以用小时或者秒来作为时间的单位,之间的换算关系如

下表所示: 速度 时间 时针速度 分针速度 秒针速度 每小时 30度 360度 21600度 每分钟 每秒 1度 26度 360度 1度 1201度 106度 既然速度用角度作为计量,同样的,路程也应该用角度作为计量,这样钟面这样一个“环形跑道”,它的路程就是一圈360度,而我们的题目,也往往就是用两个针之间所成的角度来衡量他们之间的“距离”的,解决的思路和普通行程问题里的追及问题没有两样,我们将在题目中具体讲述。

【例题精选】

【例1】 指出下列时间里,时针和分针所成的角度: (1)12点;(2)6点;(3)3点;(4)4点30分;(5)3点10分;(6)7点32分。 【分析】这个题目的意思很明显,是让我们来认识在时钟问题中的“路程”,前面的【知识精要】里已经指出,这里的时钟问题中的路程指的是角度,因此,解决时钟问题,首先要会计算不同的时间,所成的角度是多少。计算指针之间的夹角往往有两种方法,一种是画出指针的位置,然后直接计算,一种是从某一个时间开始计算,然后看两个指针移动了多少度,然后就可以得出具体最后是多少度角了。

【解答】

(1)12点的时候,时针和分针重合在12点的刻度上,因此角度为0°。

(2)6点的时候,时针指向6点刻度,分针指向12点刻度,之间相差6格,因此角度为180°。

(3)3点的时候,时针指向3点刻度,分针指向12点刻度,之间相差3格,因此角度为90°。

(4)4点30的时候,分针指向6的刻度,时针指向4和5刻度的中间,之间相差一格半,因此角度为45°。

(5)3点10分的时候,分针指向2的刻度,时针在3的刻度后过了10分钟,10分钟时针可以走

1?10?5°,因此之间相差1格加上5°,为35°。 2(6)7点32分的时候,是从7点30分之后过了2分钟,7点30分的时候,分针指向6的刻度,时针指向7和8的中间,之间相差1格半为45°,且时针在前(按照顺时针方向看),过了两分钟,时针走了

1?2?1°,分针走了12°,因此之间的角度为245??1??12??34?。

【评注】这个题目属于时钟问题的初级问题,主要是让大家熟悉一下具体时间的角度的计算,这个是解决这类问题的基础,只有很快能计算出任何时间所夹的角度,才能在后面问题的解决里占尽先机,另外要提醒大家的是,解决这类问题,一定要脑子里有一个钟的形象,如果不好想象的情况,就要学会画图来解决。

【举一反三】

1, 计算下列时间的时候,时针和分针所成的角度: (1)7点;(2)12点30分;(3)6点30分。

2, 计算下列时间的时候,时针和分针所成的角度: (1)7点15分;(2)8点10分;(3)5点45分。 3, 计算下列时间的时候,时针和分针所成的角度: (1)8点12分;(2)9点24分;(3)10点13分。

【例2】 时钟在12点的时候,时针和分针重合在一起,下一次重合在一起的时候是什么时间呢?

【分析】12点的时候,时针分针重合在一起,相当于它们从起跑线“12点”的位置同时出发,分针跑得比时针快,因此过一段时间之后,分针会追上时针,也就是说,这个时候,分针超出了时针整整一圈,这个时候它们就再次重合在一起了,也就是说,我们要求出的就是:“分针什么时候超出时针一圈”,一圈的路程就是360°,分针的速度是6°每分钟,时针的速度是

111°每分钟,它们的速度差就是6??5度,因此可以利用环形跑道222的追及问题的方法来解决。

【解答】

分针的速度是每分钟6°,时针的速度是每分钟它们的速度差为6?1°。 211?5(度), 22时针和分针再次重合,也就是分针超出了时针一圈,因此路程为360°。

127205?360???65(分钟)。 21111115因此,再次重合的时间为1点5分。

11所花时间为:360?5【评注】从这道题目里,我们可以发现,时钟问题本质上就是环形跑道的追及问题,而路程用角度来衡量,速度在前面我们已经提到,因此基本的公式就是:路程差=速度差×时间。另外,需要提醒大家注意的是,这里的时间都是准确时间,而且我们把指针的移动看作连续的,也就是说,这里我们理想地认为指针不是跳着走的,而是连续平均地移动,所以这道题目的结果里才会出现5出这样的时间的。

【举一反三】

1, 时钟在12点的时候,时针和分针重合在一起,这次重合之后(这次不算),第二次

重合在什么时间呢?

2, 5点以后,时针和分针什么时候第一次重合在一起? 3, 1点10分后过多久,分针和秒针会第一次重合在一起?

【例3】 时针和分针成90度角,那么,之后多久会第一次重合在一起?

【分析】这个题目要注意的关键是,时针和分针成90°角,但是却有可能有两种位置关系,第一种是按照顺时针方向,分针在后,时针在前,就好像3点整的那样,另外一种情况是分针在前时针在后,比如9点钟的时候,这两种情况,由于分针要追时针,走的路线不同,因此要分别进行讨论。考虑类似3点钟的情况,这个时候分针在后面,时针按照顺时针方向正好在它前面90°,因此正好需要追的路程也是90°,而9点钟的情况,分针

5分这样的时间,而在平时,我们在钟面上是肯定读不11