第六讲 行程问题（8）——时钟问题

【知识精要】

同学们有没有注意过墙上挂的大钟或者手上的手表，以大钟为例子，钟上面有三根针：时针分针和秒针，有的时候，这些指针会形成独特的图形，比如12点整的时候，三根针会

重合12点的那个地方，而6点整的时候，时针和分针会成一条直线，其中时针指6，分针指12。如果形象地去想象，12点的时候，就好像三根针在同一起跑线上开始出发，秒针跑得最快，很快就走过了一圈又一圈，分针慢一些，一步一步挪着步子，而时针就像一个年迈的老人，老半天才能走一格，这样的赛跑每天每时每刻都在进行，这一讲，我们就来探讨时针分针秒针他们赛跑的问题，这也可以看作一类行程问题，我们就来看看其中的奥妙。

既然我们把这类问题看做行程问题，就会遇到行程问题一个一贯的问题：路程，速度与时间之间的

关系，可是既然是在时钟上做文章，时间肯定不成问题，时针分针秒针自己的运动就代表着时间的标准，但是路程和速度如何计算呢？同学们肯定能想到，整个钟面就像一个环形跑道，那么时钟问题也一定和环形跑道有着千丝万缕的联系，再想得深刻一点，我们可以发现，时针分针秒针都是沿着同样的方向，就是我们平时所说的“顺时针”方向在移动，既然不存在相向和相背的运动，这类问题就只剩下追及问题了，所以时钟问题抽象出来，实质就是环形跑道上的追及问题。

可是上面的问题还没有解决，如何来衡量路程和速度，不同的钟面大小不一样，钟楼顶层的大钟，半径可能有好几米，而我们平时手上戴的手表，半径才1厘米左右，这样，我们的速度和路程也就变得非常复杂，有没有什么可以简单计算的方法呢？我们知道，生活常识告诉我们，秒针每分钟走一圈，分针每小时走一圈，而时针呢，要12小时才能走一圈，如果我们把钟面按照刻度划分成12个格子的话，就相当于时针每小时走1格，分针每小时走12格，如此等等，如果再仔细想一想，如果我们把钟面看作一个普通的圆，刻度就是在圆周上的12等分，把等分点和圆心相连，

就得到12个30度的圆心角，而三根时针正是在“跑”这样的圆心角，一圈的路程就是360度，而每一格就相当于30度，这样形容速度，所有的钟面就都很清楚了，时针每小时走一格就是60分钟走30度，相当于每分钟0.5度，分针每小时走一圈就是60分钟走360度，相当于每分钟6度，而秒针每分钟就能走一圈，也就是每分钟360度，这样他们的速度也就能表示出来了，当然，我们还可以用小时或者秒来作为时间的单位，之间的换算关系如

下表所示： 速度 时间 时针速度 分针速度 秒针速度 每小时 30度 360度 21600度 每分钟 每秒 1度 26度 360度 1度 1201度 106度 既然速度用角度作为计量，同样的，路程也应该用角度作为计量，这样钟面这样一个“环形跑道”，它的路程就是一圈360度，而我们的题目，也往往就是用两个针之间所成的角度来衡量他们之间的“距离”的，解决的思路和普通行程问题里的追及问题没有两样，我们将在题目中具体讲述。

【例题精选】

【例1】 指出下列时间里，时针和分针所成的角度： （1）12点；（2）6点；（3）3点；（4）4点30分；（5）3点10分；（6）7点32分。 【分析】这个题目的意思很明显，是让我们来认识在时钟问题中的“路程”，前面的【知识精要】里已经指出，这里的时钟问题中的路程指的是角度，因此，解决时钟问题，首先要会计算不同的时间，所成的角度是多少。计算指针之间的夹角往往有两种方法，一种是画出指针的位置，然后直接计算，一种是从某一个时间开始计算，然后看两个指针移动了多少度，然后就可以得出具体最后是多少度角了。

【解答】

（1）12点的时候，时针和分针重合在12点的刻度上，因此角度为0°。

（2）6点的时候，时针指向6点刻度，分针指向12点刻度，之间相差6格，因此角度为180°。

（3）3点的时候，时针指向3点刻度，分针指向12点刻度，之间相差3格，因此角度为90°。

（4）4点30的时候，分针指向6的刻度，时针指向4和5刻度的中间，之间相差一格半，因此角度为45°。

（5）3点10分的时候，分针指向2的刻度，时针在3的刻度后过了10分钟，10分钟时针可以走

1?10?5°，因此之间相差1格加上5°，为35°。 2（6）7点32分的时候，是从7点30分之后过了2分钟，7点30分的时候，分针指向6的刻度，时针指向7和8的中间，之间相差1格半为45°，且时针在前（按照顺时针方向看），过了两分钟，时针走了

1?2?1°，分针走了12°，因此之间的角度为245??1??12??34?。

【评注】这个题目属于时钟问题的初级问题，主要是让大家熟悉一下具体时间的角度的计算，这个是解决这类问题的基础，只有很快能计算出任何时间所夹的角度，才能在后面问题的解决里占尽先机，另外要提醒大家的是，解决这类问题，一定要脑子里有一个钟的形象，如果不好想象的情况，就要学会画图来解决。

【举一反三】

1， 计算下列时间的时候，时针和分针所成的角度： （1）7点；（2）12点30分；（3）6点30分。

2， 计算下列时间的时候，时针和分针所成的角度： （1）7点15分；（2）8点10分；（3）5点45分。 3， 计算下列时间的时候，时针和分针所成的角度： （1）8点12分；（2）9点24分；（3）10点13分。

【例2】 时钟在12点的时候，时针和分针重合在一起，下一次重合在一起的时候是什么时间呢？

【分析】12点的时候，时针分针重合在一起，相当于它们从起跑线“12点”的位置同时出发，分针跑得比时针快，因此过一段时间之后，分针会追上时针，也就是说，这个时候，分针超出了时针整整一圈，这个时候它们就再次重合在一起了，也就是说，我们要求出的就是：“分针什么时候超出时针一圈”，一圈的路程就是360°，分针的速度是6°每分钟，时针的速度是

111°每分钟，它们的速度差就是6??5度，因此可以利用环形跑道222的追及问题的方法来解决。

【解答】

分针的速度是每分钟6°，时针的速度是每分钟它们的速度差为6?1°。 211?5（度）， 22时针和分针再次重合，也就是分针超出了时针一圈，因此路程为360°。

127205?360???65（分钟）。 21111115因此，再次重合的时间为1点5分。

11所花时间为：360?5【评注】从这道题目里，我们可以发现，时钟问题本质上就是环形跑道的追及问题，而路程用角度来衡量，速度在前面我们已经提到，因此基本的公式就是：路程差=速度差×时间。另外，需要提醒大家注意的是，这里的时间都是准确时间，而且我们把指针的移动看作连续的，也就是说，这里我们理想地认为指针不是跳着走的，而是连续平均地移动，所以这道题目的结果里才会出现5出这样的时间的。

【举一反三】

1， 时钟在12点的时候，时针和分针重合在一起，这次重合之后（这次不算），第二次

重合在什么时间呢？

2， 5点以后，时针和分针什么时候第一次重合在一起？ 3， 1点10分后过多久，分针和秒针会第一次重合在一起？

【例3】 时针和分针成90度角，那么，之后多久会第一次重合在一起？

【分析】这个题目要注意的关键是，时针和分针成90°角，但是却有可能有两种位置关系，第一种是按照顺时针方向，分针在后，时针在前，就好像3点整的那样，另外一种情况是分针在前时针在后，比如9点钟的时候，这两种情况，由于分针要追时针，走的路线不同，因此要分别进行讨论。考虑类似3点钟的情况，这个时候分针在后面，时针按照顺时针方向正好在它前面90°，因此正好需要追的路程也是90°，而9点钟的情况，分针

5分这样的时间，而在平时，我们在钟面上是肯定读不11