专题06 函数的图象

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高考对函数图象的考查，形式多样，命题形式主要有，由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现．常常与导数结合考查. （一）基础知识

1、描点法作函数图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2、做草图需要注意的信息点：

做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图象形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图象更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点：

（1）一次函数：y?kx?b,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线. 特点：两点确定一条直线. 信息点：与坐标轴的交点.

（2）二次函数：y?a?x?h??k，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图象，另一侧由对称性可得.函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图象更为精确. 特点：对称性

信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点. （3）反比例函数：y?21,其定义域为???,0?U?0,???，是奇函数，只需做出正版轴图象即可（负半轴依靠对x称做出），坐标轴为函数的渐近线.

特点：奇函数（图象关于原点中心对称），渐近线. 信息点：渐近线 注：

（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x轴是渐近线，那么当x???，曲线无限向x轴接近，但不相交，则函数在x正半轴就不会有x轴下方的部分。

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（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x???（或??）时，f?x??常数C，则称直线y?C为函数f?x?的水平渐近线

例如：y?2 当x???时，y???，故在x轴正方向不存在渐近线 当x???时，y?0，故在x轴负方向存在渐近线y?0

（3）竖直渐近线的判定：首先f?x?在x?a处无定义，且当x?a时，f?x????（或??），那么称x?a为f?x?的竖直渐近线

例如：y?log2x在x?0处无定义，当x?0时，f?x????，所以x?0为y?log2x的一条渐近线. 综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图象中：与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线.

2、函数图象变换：设函数y?f?x?，其它参数均为正数 （1）平移变换：

xf?x?a?：f?x?的图象向左平移a个单位 f?x?a?：f?x?的图象向右平移a个单位 f?x??b：f?x?的图象向上平移a个单位 f?x??b：f?x?的图象向下平移a个单位

（2）对称变换：

f??x?：与f?x?的图象关于y轴对称 ?f?x?：与f?x?的图象关于x轴对称 ?f??x?：与f?x?的图象关于原点对称

（3）伸缩变换：

1?k?1：收缩 f?kx?：f?x?图象纵坐标不变，横坐标变为原来的?k?0?k?1：拉伸拉伸?k?1： kf?x?：f?x?图象横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍??0?k?1：收缩（4）翻折变换：

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??f?x?,x?0即正半轴的图象不变，负半轴的原图象不要，换上与正半轴图象关于y轴对称f?x?：f?x?????f??x?,x?0的图象

??f?x?,f?x??0即x轴上方的图象不变，下方的图象沿x轴对称的翻上去. f?x?：f?x????fx,fx?0??????（二） 方法与技巧：

1、在处理有关判断正确图象的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：

（1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图象位于x轴上方的区域表示原函数的单调增区间，位于x轴下方的区域表示原函数的单调减区间

（2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分 （3）极值点

（4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察

（5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间为函数的上凸部分.

2、利用图象变换作图的步骤：

（1）寻找到模板函数f?x?（以此函数作为基础进行图象变换） （2）找到所求函数与f?x?的联系

（3）根据联系制定变换策略，对图象进行变换. 3、如何制定图象变换的策略

（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换

（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：

① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化 例如：y?f?x??y?f?2x?1?可有两种方案

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