习题四
4.1 理解并给出下列术语的定义：函数依赖 部分函数依赖 完全函数依赖 传递函数依赖 候选码 主码 外码 全码 主属性 非主属性1NF 2NF 3NF BCNF 4NF 函数依赖集闭包 属性集闭包 函数依赖集等价 最小函数依赖集 无损连接 函数依赖保持
设R(U)是属性集U上的关系模式。若对于R(U)的任意一个可能的关系r，X，Y是属性集U的任意子集，当且仅当对r中任意一个给定的X的属性值，r中都只存在惟一的Y属性值与之对应。也就是说，如果X相等，就有Y也相等，则称Y函数依赖于X或X函数确定Y，记作X→Y。
在R(U)中，如果X?Y，并且对于X的一个真子集X'，有X'?Y成立，则称Y对Xp部分函数依赖（Partial Functional Dependency），记作X???Y。
在R(U)中，如果X?Y，并且对于X的任何一个真子集X'，都有X'??Y成立，则
f称Y对X完全函数依赖（Full Functional Dependency），记作X???Y。
在R(U)中，如果X?Y，Y??X，Y?Z，则称Z对X传递函数依赖（Transitive
tFunctional Dependency）,记做X???Z
f设K为R
一个，则选定其中的一个为主码。包含在任何一个候选码中的属性，叫做主属性。不包含在任何候选码中的属性称为非主属性。最简单的情况，码只包含单个属性；最复杂的情况是所有属性集组合成码，称为全码。关系模式R中属性或属性组X并非R的主码，但X是另一个关系模式的主码，则称X是R的外码。
设R是一个关系模式，如果R中的每一个属性A的属性名和属性值都是不可再分的，则称R属于第一范式，记作：R∈1NF。
若R?1NF，且每一个非主属性都完全函数依赖于码，则R?2NF。
关系模式R(U,F)中若不存在这样的码X，属性组Y及非主属性组Z（Z?Y），使得
?
X?Y，Y??X，Y?Z成立，则称R(U,F)?3NF。
关系模式R(U,F)?1NF，若每一个决定因素都含有码，则R?BCNF。
关系模式R(U,F)∈1NF，若对R的每个非平凡多值依赖X→→Y（Y?X），X都包含码，
?则称R(U)满足第四范式，记为R∈4NF。
称所有被一个已知函数依赖集F逻辑蕴涵的那些函数依赖的集合为F的闭包（Closure），+
记为F。
设有关系模式R(U)，F是U上的一个函数依赖集，X?U，定义
XF＋＝｛A|X?A能由F根据Armstrong 公理导出｝，
并称XF＋为属性集X关于函数依赖集F的闭包。
如果函数依赖集F满足下列条件，则称F是一个极小函数依赖集或最小覆盖。 ① F中每一个函数依赖的右部都是单个属性。
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② 对F中任一函数依赖X→A，F-{X→A}都不与F等价。
{F-{X→A}}∪{Z-A}都不与F等价，③ 对于F中的任一函数依赖X→A，其中Z为X的任一
子集。
如果函数依赖集F与某个最小依赖集的最小依赖集。
F是R上的一个函数依赖集，R分解为关系模式的集合?＝{R1(U1), 设R是一个关系模式，
R2(U2), …, Rn(Un)}。如果对于R的满足F的每一个关系r，都有
Fm等价，则称
Fm是F的最小覆盖或
Fm是F
r??R1(r)若F＋＝（
?R2(r)....?Rn(r)，则称?是一个无损连接的分解（lossingless jion
decomposition）
kFii?1）＋，则R（U，F）的分解?＝｛R(U,F),....,R(U,F)}｝保持函
111kKk数依赖。
4.2 设有关系模式R（A，B，C，D，E，P，G，H），R的函数依赖集F＝｛AB→CE，A→C ，
GP→B ，EP→A ，CDE→P ，HB→P ，D→HG ，ABC→PG｝，求D＋ 【参考答案】 D＋={DHG}
4.3 证明函数依赖集F＝｛A→BC，A→D，CD→E｝和函数依赖集G＝｛A→BCE，A→ABD，
CD→E｝的等价性 【参考答案】
∵ A→BC，A→D，CD→E ，∴A→BCE，A→ABD，有F?G? ∵ A→BCE，A→ABD ，∴ A→BC，A→D，CD→E ，有G?F?
所以F和G等价。
4.4 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的函数依赖集，F＝｛A→B，C→B｝，则相对于F，
试写出关系模式R的候选码，并说明理由 【参考答案】
关系模式R的候选码为ＡＣD
在关系F中B只出现在右边，所以B一定不是候选码 在关系F中D没有出现D必然出现在候选码中 在关系F中AC出现在左边 A→B，C→C，A→A
所以A能推出ＡＢＣ，因此候选码是ACD
4.5 设有关系模式R（A，B，C，D，E），R的函数依赖集F＝｛AB→D，B→CD，DE→B，C
→D，D→A｝
⑴ 计算（AB）＋，（AC）＋，（DE）＋
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⑵ 求R的所有候选码 ⑶ 求F的最小覆盖 【参考答案】
＋
⑴（AB）=｛ABCD｝
＋
（AC）={ACD} （DE）＋={ABCDE}
⑵ R属性：E, LR属性：ABCD (AE) ＋=｛AE｝ (BE) ＋=｛ABCDE｝ (CE) ＋=｛ABCDE｝ (DE) ＋=｛ABCDE｝
R的候选码为：BE, CE, DE
⑶ 右部属性单一化：F1={ AB→D，B→C，B→D，DE→B，C→D，D→A } 去掉多余的函数依赖：F2＝｛B→C， DE→B，C→D，D→A｝ 去掉冗余的属性：没有冗余属性
所以F的最小覆盖Fmin＝F2＝｛B→C， DE→B，C→D，D→A｝
4.6 设有关系模式R（A，B，C，D），R的函数依赖集F＝｛A→C，C→A，B→AC，D→AC，
BD→A｝，求F的最小覆盖 【参考答案】
第一步：将F的所有函数依赖的右部都分解成单一属性： F1＝{ A→C，C→A，B→A ，B→C，D→A，D→C，BD→A } 第二步：去掉冗余的函数依赖：
1考察A→C，令G＝｛C→A，B→A ，B→C，D→A，D→C，BD→A｝○，A＋G＝{A}
因为C? AG，所以A→C不冗余；
2考察C→A，令G＝｛A→C， B→A ，B→C，D→A，D→C，BD→A｝○，C＋G＝{C} 因为A ?CG，所以C→A不冗余；
＋3考察B→A，令G＝｛A→C，C→A，B→C，D→A，D→C，BD→A｝○，BG＝{ABC}
因为A? B＋G，所以B→A冗余，从F1中删除B→A，F2＝｛A→C，C→A，B→C，D→A，D→C，BD→A｝；
＋
4考察B→C，令G＝｛A→C，C→A，D→A，D→C，BD→A｝○，BG＝{B}
＋＋
因为C? B＋G，所以B→C不冗余；
5考察D→A，令G＝｛A→C，C→A，B→C， D→C，BD→A｝○，D＋G＝{ACD}
因为A? D＋G，所以D→A冗余，从F2中删除D→A，F3＝｛A→C，C→A，B→C， D→C，BD→A｝；
6考察D→C，令G＝｛A→C，C→A，B→C，BD→A｝○，D＋G＝{D}
因为C? D＋G，所以D→C不冗余；
7考察BD→A，令G＝｛A→C，C→A，B→C， D→C｝○，(BD)＋G＝{ABCD}
因为A? (BD)＋G，所以BD→A冗余，从F3中删除BD→A，F4＝｛A→C，C→A，B→C，
D→C｝；
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第三步：去掉冗余的属性：
由于左边都是单属性，所以： Fm＝F4=｛A→C，C→A，B→C， D→C｝； 但是结果不唯一。
4.7 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F＝｛C→A，B→A｝，分解ρ＝｛AB，BC｝，
判断ρ是否具有函数依赖保持性？ 【参考答案】
F1 ＝?(F)= (B→A)
U1F2 ＝?U2(F)=?
G = F1∪F2 = { B→A } F={ C→A，B→A }
显然，G必定包含于F＋。而F不包含于G＋。 因此，有G+≠F+，即
∴ρ不具有函数依赖保持性。 4.8 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F＝｛C→A，B→C｝，ρ＝｛AB，AC｝，判
断ρ是否具有“无损连接性”和“函数依赖保持”性 【参考答案】
考察“无损连接性”：
①首先构造初始表，结构如表1
表1 初始表
Aj A B C Ri AB AC a1 a1 a2 b23 b13 a3 ②修改表
逐一考察F中的函数依赖： a) C→A，表的结构不变; b) B→C，表的结构不变;
此时，对F中的每个函数依赖，表的结构都不再变化。又因为表中没有出现a1，a2，a3 的行，所以该分解不具有无损连接性。 考察“函数依赖保持”
F1 ＝?(F)= (B→A)
U1F2 ＝?U2(F)=( C→A)
G = F1∪F2 = { B→A ，C→A } F={ C→A，B→C }
显然，G必定包含于F＋。而F不包含于G＋。
++
因此，有G≠F，即 ∴ρ不具有函数依赖保持性。
4.9 设关系模式R（ABCD），在R上有5个相应的FD集及分解：
⑴ F=｛B→C，D→A｝，ρ＝｛AD，BC｝
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⑵ F=｛AB→C，C→A，C→D｝，ρ＝｛ACD，BC｝ ⑶ F=｛A→BC，C→AD｝，ρ＝｛ABC，AD｝ ⑷ F=｛A→B，B→C，C→D｝，ρ＝｛AB，ACD｝ ⑸ F=｛A→B，B→C，C→D｝，ρ＝｛AB，AD，CD｝ 试对上述5中情况分别回答下列问题：
⑴ 确定R的候选码和主码。 ⑵ 是否为无损分解？ ⑶ 是否函数依赖保持？
⑷ 确定ρ中每一模式的范式级别。
【参考答案】
1分解⑴ F=｛B→C，D→A｝○，ρ＝｛AD，BC｝
A) （BD）+=｛ABCD｝ BD是候选码，也是主码
B) 首先构造初始表，结构如表2
表2 初始表
Aj A B C Ri AD BC a1 b21 b12 a2 b13 a3 D a4 b24 修改表 逐一考察F中的函数依赖：
a) B→C，表的结构不变; b) D→A，表的结构不变;
a2，a3 ，此时，对F中的每个函数依赖，表的结构都不再变化。又因为表中没有出现a1，
a4的行，所以该分解不具有无损连接性。
C) F1 ＝?(F)= (B→C)
U1F2 ＝?U2(F)=( D→A)
G = F1∪F2 = { B→C ，D→A } F={ B→C， D→A}
显然，G必定包含于F＋。而F包含于G＋。
因此，有G+＝F+，即 ∴ρ具有函数依赖保持性。 D) 模式ad(A,D) ?BCNF，模式bc(B,C) ?BCNF 2分解⑵ F=｛AB→C，C→A，C→D｝○，ρ＝｛ACD，BC｝
A) L属性B，LR属性AC ，R属性D
(B)+ = {B}
(AB)+ = {ABCD} 所以AB是候选码 (BC)+ = {ABCD} 所以BC是候选码 选择AB做为主码 B) 构造初始表 Aj A B C D Ri ACD BC a1 b21 b12 a2 a3 a3 a4 b24 25