一、填空题：（21分）答案

1．?1?i的指数表达式 2．Ln(1?i)?

2e?3?i?2k?i4 k?0,?1,?2, ;

1?Ln2?i?2k?i k ? ??0,1 ,; 2,243．解析函数设 f(z)在 z0处的转动角： Argf?(z0) ; 4．幂级数

1nz的和函数的解析域 |z|?? ; ?n!n?011s， 则L[f(2t?2)]? e 。 SS??5．幂函数、指数函数的映照特点分别是： 角形域—角形域 ， 带形域—角形域 ； 6．若L[f(t)]?二、简答题：（18分）

1．叙述复数函数的知识体系（6分）。

答： 复数—复导数—积分—级数—留数—共形映照

2．若z0分别为f(z)及g(z)的m阶及n阶极点，则f(z)?g(z)在z0具有什么性质。 答： f(z)?11， f(z), f(z)?0g(z)?g1(z), g1(z0)?0 110(z?z0)m(z?z0)n z0为f(z)?g(z)的max?m,n?阶极点。（6分）

3．叙述将单位圆盘|z|?1保形映照为单位圆盘|w|?1且将z0 (|z0|?1)映照为w?0的分式线性函数w?ei?z?z0产生的关键步骤。

1?z0z1??;（3分） |z|?1?|w|?1.（3分） z0答： z0?w?0，

三、计算题：（49分）

1． 求f(z)?x3?3x2yi的解析域； 解：

?v?u?v?u?3x2?, ?0，?6xy（4分）

?x?x?y?y?仅在（0，0）处C—R方程成立（2分）

?处处不解析（1分）

12． 求f(z)?2在0?|z?1|?1时的罗朗级数；

z(1?z)????111n?1n]?（4分）?[?(?1)(z?1)]???(?1)n?1n(z?1)n?1（2分）解：2?(?)???[

zz(z?1)?1n?0n?0? f(z)??(?1)n?2n(z?1)2（1分）

3． 求积分 I?i??Czdz, C为沿单位圆(|z|?1)的逆时针一周的曲线。

i?解： z?re?e（2分） I??2?0e?i?ei??id??2?i（5分）

1?|z|?2(2z?1)(z?1)dz 。

dz（3分） 1)4． 求积分 I?解： I?1?c1(2z?1)z(??1111|z?1?|1???0（2分, 2分） 2z?12z?1z??2335．求积分 I??|z|?1ctanπzdz, 2cosz解： I?2?i{Rsef[,0?]}?i22??cosz226、求函数tf'(t)的傅里叶变换。

1i?z?0分,3分,1分） ?|i（34解：Ftf'(t)??F[f'(t)]??i?[i??F(?)]???F(?)??F(?)（3分,3分,1分） 7．求函数te?atsin?t的拉普拉斯变换。 解：L[te?atsin?t]?L[tsin?t]s?s?a=?{L[sin?t]}s?s?a

??(?s2??)??2s?s?a2?(s?a))?s?s?a（2分,2分, 2分,1分）

(s?a)2??2四、证明及解方程（12分）

1． 证明：F[cos?0t]??[?(???0)??(???0)]。

1??1??i?ti?t?(???)ed???(???)ed? 002????2????1?i?0t1i?0t1e?e?cos?0t（2分,2分, 2分） ?2?2?? ? 等式成立

2．解方程：y????y??1 , y(0)?y?(0)?y??(0)?0。

证：

F-1[?(???0)??(???0)]?解： sY(s)?sY(s)?1 s111Y(s)?22?2?2

s(s?1)ss?1y(t )?t?sint （2分,2分, 2分）

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