考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷48

(总分：60.00，做题时间：90分钟)

一、 选择题(总题数：7，分数：14.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 解析：

2.设f(χ)连续，且F(χ)＝（分数：2.00） A. B. C. D. √ ，应选A．

f(t)dt，则F′(χ)＝( )．

解析：解析：F′(χ)＝f(lnχ).(lnχ)′－（分数：2.00）

A.f′(0)＞f(1)－f(0)＞f′(1) B.f′(0)＜f′(1)＜f(1)－f(0) C.f′(0)＞f′(1)＞f(1)－f(0) D.f′(0)＜f(1)－f(0)＜f′(1) √

3.当χ∈[0，1]时，f〞(χ)＞0，则f′(0)，f′(1)，f(1)－f(0)的大小次序为( )．

解析：解析：由拉格朗日中值定理得f(1)＝f(0)＝f′(c)(0＜c＜1)， 因为f〞(χ)＞0，所以f′(χ)单调增加，故f′(0)＜f′(c)＜f′(1)， 即f′(0)＜f(1)－f(0)＜f′(1)，应选D． 4.设f(χ)在[0，＋∞)上连续，在(0，＋∞)内可导，则( )． （分数：2.00） A.若 B.若 C.若 D.若f(χ)＝0，则f′(χ)＝0，则f(χ)＝＋∞，则f′(χ)＝A＞0，则，显然f′(χ)＝0 f(χ)＝0 f′(χ)＝＋∞ f(χ)＝＋∞ √

f(χ)＝0，但＝－∞，A不对； 取f(χ)＝cosχ，显

f(χ)＝＋∞，但f(χ)＝1，C

解析：解析：取f(χ)＝然＝0，但＝1≠0，B不对； 取f(χ)＝χ，显然不对，应选D．

5.设f(χ)，g(χ)(a＜χ＜b)为大于零的可导函数，且f′(χ)g(χ)－f(χ)g′(χ)＜0，则当a＜χ＜b时，有( )． （分数：2.00）

A.f(χ)g(b)＞f(b)g(χ) √

B.f(χ)g(a)＞f(a)g(χ) C.f(χ)g(χ)＞f(b)g(b) D.f(χ)g(χ)＞f(a)g(a)

解析：解析：由f′(χ)g(χ)－f(χ)g′(χ)＜得a＜χ＜b得＜0， 即＜0，从而为单调减函数． 由

，故f(χ)g(b)＞f(b)g(χ)，应选A．

＝2，则f(χ)在χ＝0处( )．

6.设f(χ)在χ＝0的某邻域内连续，若（分数：2.00） A.不可导

B.可导但f′(0)≠0 C.取极大值 D.取极小值 √ 解析：解析：由＝2得f(0)＝0， 由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜χ｜＜δ时，＞0，

从而f(χ)＞0＝f(0)， 由极值的定义得f(0)为极小值，应选D． 7.设f(χ)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0，使得( )． （分数：2.00）

A.f(χ)在(0，δ)内单调增加 B.f(χ)在(－δ，0)内单调减少

C.对任意的χ∈(－δ，0)，有f(χ)＞f(0) D.对任意的χ∈(0，δ)，有f(χ)＞f(0) √ 解析：解析：因为f′(0)＝＞0， 所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜χ｜＜δ时，＞0， 当χ∈(－δ，0)时，f(χ)＜f(0)；当χ∈(0，δ)时，f(χ)＞f(0)，应选D．

二、 填空题(总题数：6，分数：12.00)

8.设f(χ)＝ln(2χ －χ－1)，则f (χ)＝ 1． （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(－1) (n－1) 解析：解析：f(χ)＝ln[2χ＋1)(χ－1]＝ln(2χ＋1)＋ln(χ－1)，9.设φ(χ)＝ （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2 解析：解析：φ(χ)＝χ －2χ f(χ )＝2χ 10.设f(χ)连续，则（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：f(χ)）

3

2

n-1

2

(n)

） (χ －t)f(t)dt，其中f连续，则φ〞(χ)＝ 1．

2

f(t)dt＋4χ f(χ )）

f(t)dt＋2χ f(χ )

2

3

2

22

f(t)dt－ tf(t)dt φ′(χ)＝2χ 2

f(t)dt φ〞(χ)＝2 tf(χ－t)dt＝ 1．

f(t)dt＋4χ f(χ )．

解析：解析：∫ tf(χ－t)dt 0 －∫ 0 uf(u)du， 于是 11.曲线y＝（分数：2.00）

χ

χ

∫ (χ－u)f(u)(－du)＝∫ (χ－u)f(u)du ＝χ∫ f(u)duχ 0 0 tf(χ－t)dt＝∫ 0 f(u)du，故 χ

0χχ

tf(χ－t)dt＝f(χ)．

的斜渐近线为 1．

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝χ＋3） 解析：解析：12.曲线y＝χ＋（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝χ） 解析：解析：由χ

则斜渐近线为y＝χ＋3． 的斜渐近线为 1．

＝0，得曲线y＝χ＋的斜渐近线为y＝χ．

13.y＝e 在χ＝0处的曲率半径为R＝ 1． （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2[*]）

解析：解析：y′(0)＝1，y〞(0)＝1，则曲线y＝e 在χ＝0处的曲率为k＝ ＝2 ．

χ

，则曲率半径为R

三、 解答题(总题数：17，分数：34.00)

14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 解析：

15.证明：当χ＞1时，（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(χ)＝(1＋χ)ln(1＋χ)－χlnχ，f(1)＝2ln2＞0， 因为f′(χ)＝ln(1＋χ)＋1－lnχ－1＝ln(1＋0得当χ＞1时，f(χ)＞0，即解析：

16.证明：当χ＞0时，arctanχ＋（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(χ)＝arctanχ＋(0，＋∞)内单调递减， 又因为解析：

， 因为f′(χ)＝，即arctanχ＋＜0(χ＞0)，所以f(χ)在

．)

．

)＞0(χ＞1)， 所以f(χ)在[1，＋∞)上单调增加， 再由f(1)＝2ln2＞

) ，所以f(χ)＞