浅谈与圆有关的含参数问题
江苏省海门中学 吴健
作者简介：数学高级教师，海门中学数学科首席教师，海门市数学学科带头人，数学竞赛优秀教练员，辅导的学生在全国联赛中有42人获一等奖，其中3人进入全国冬令营。长期担任高三数学教学工作，所任班级高考成绩在省内处于前列，多次被评为海门市“高考功勋教师”、“海门市高三优秀教师”。
2008年和2009年江苏高考解析几何的重、难点落实在考查直线和圆上，试题很好地体现了《江苏高考数学科考试说明》的规定：圆的标准方程和一般方程为C级要求，直线与圆、圆与圆的位置关系为B级要求．在试题命制时，2008年试题18和2009年试题18不落俗套，大胆创新，引入参数（2009第18题中的参数未直接给出，实际可理解为其中一条直线的斜率），探求定点，试题兼有动与静的美感，深刻地考查了学生的分析探究能力．本文就与圆有关的含参数问题作一粗浅分析，作抛砖引玉之用．
1 与长度、面积有关的最值问题
与直线和圆有关的问题引入参数后，如弦长、切线长、圆面积等常常可以表示为参数的函数，可利用函数思想求出其最值．
例1 已知⊙O:x?y?1和定点A(2,1),由⊙O外一点P（a,b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|?|PA|.
（1）求实数a,b间满足的等量关系； （2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．
解析 （1）连OP，因为Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|?|OP|?|OQ| 又由已知|PQ|?|PA|,故|PQ|?|PA| 即 (a?b)?1?(a?2)?(b?1)
化简得实数a、b间满足的等量关系为 2a?b?3?0
（2）由2a?b?3?0，得b=－2a+3 ．
22222222222264|PQ|?a2?b2?1?a2?(?2a?3)2?1?5a2?12a?8?5(a?)2?.
55故当a?2625 时,|PQ|min?5，即线段PQ长的最小值为555（3）设⊙P的半径为R，OP设⊙O有公共点，⊙O的半径为1， 所以|R?1|?|OP|?R?1,即R?|OP|?1且R?|OP|?1．
而|OP|?故当a?69a2?b2?a2?(?2a?3)2?5(a?)2?.
556333时,|PQ|min?5,此时b??2a?3?,Rmin?5?1. 5555623235?1)2． 得半径取最小值⊙P的方程为(x?)?(y?)?(555
点评 由于圆的特殊性，与圆有关的问题有时用几何特征解决要比代数方法简捷，上题（3）也可用几何法，求出点O到直线2a?b?3?0的距离d，⊙P半径的最小值即为d?1，从而可求出⊙P方程．
例2 已知圆C：(x?1)2?(y?2)2?25，直线l：(2m?1)x?(m?1)y?7m?4?0(m?R)， (1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．
分析 若直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径；若直线过圆内一点，则直线和圆相交，涉及相交弦问题，要注意运用弦长，半径及弦心距三者之间的关系．
解析 (1)由题意直线方程可变形为(2x?y?7)m?(x?y?4)?0
?2x?y?7?0?x?3因为m?R，所以?，所以直线l必过定点A(3,1)， ??y?1x?y?4?0??又因为(3?2)2?(1?2)2?5?25，所以点(3,1)在圆C内，故l必与圆C相交．
(2)要使弦长最小时，必须l?AC,
因为圆心C(1,2)和定点A(3,1)所在的直线l1的斜率k1?所以，直线l的方程为2x?y?5?0．
点评 直线和圆的问题的是数形结合的典型“代表”，可以通过求解分析，从代数的角度分析各个量之间的关系，同时也可以通过几何方法来研究它的几何属性．在解决这类问题时，要做到：“既注意几何特征，又利用代数运算”．
2 探求定点
曲线过定点问题的探究一般是写出曲线方程，再分离参数，通过求解方程组找出定点．
例3（2008年江苏高考第18题）平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)?x?2x?b(x?R)的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C． ⑴求实数b的取值范围；⑵求圆C的方程；
⑶问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．
21，所以l的斜率k?2， 2???0解析 ⑴由??b?1且b?0．
f(0)?0?⑵解法一
f(x)?x2?2x?b(x?R)的图像与x轴的两个交点
B(?1?1?b,0),D(?1?1?b,0)，又f(x)?x2?2x?b(x?R)的图像与y轴交点为A(0,b)，显然圆
?1?b?y02?r2心在BD中垂线x??1上，可设圆C：B坐标代人可得?，(x?1)?(y?y0)?r将A，22?1?(b?y0)?r222b?12b2?2b?5,r?解得y0?， 24b?12b2?2b?522)?所以圆方程为(x?1)?(y?，即x?y?2x?(b?1)y?b?0 242
解法二 设所求圆的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0．
令y?0可得x2?Dx?F?0?D?2,F?b，又x?0时y?b，因为b?0从而E??b?1． 所以圆的方程为x2?y2?2x?(b?1)y?b?0．
（3）圆C方程x2?y2?2x?(b?1)y?b?0整理为x2?y2?2x?y?b(1?y)?0，圆C恒过曲线C?:x2?y2?2x?y?0与l:1?y?0的交点，即过定点(0,1)与(?2,1)．
点评 与圆有关的问题高三师生往往重点关注直线与圆的位置关系，命题者有意回避，独辟溪径，将二次函数、二次方程、圆方程等知识相结合，设计巧妙，既考查了重点知识，又做到问题设计背景新颖，突出了思维能力的考查．
Y 22例3的变式 考察所有可能的抛物线y?x?ax?b，它们与坐标轴各有三个不同的交点，对于每一条这样的抛物线，过其与坐标轴的三个交点作圆．求证：所在这些圆都经过一定点．
证明 方法一（几何法）
设抛物线y?x?ax?b与x轴的交点（x1,0），（x2,0）．
222由韦达定理可知x1x2??b?0（因为若b?0，则y?x?ax?b与坐标轴只有两个不同的交点），
22O X 故点（x1,0），（x2,0）在坐标原点的两侧，又因为|x1|?|x2|?|?b|?1，由相交弦定理的逆定理可知：点（x1,0），（x2,0），（0,?b），（0，1）在同一个圆周上，即过抛物线与坐标轴的三个交点（（x1,0），（x2,0），（0,?b）的圆一定过定点（0，1）．于是所有的这些圆周均经过一定点（0，1）．
方法二（代数法）
设满足条件的动圆C：x?y?Dx?Ey?F?0，
令y?0，则x?Dx?F?0，方程与x?ax?b?0同解，
2所以D?a，F??b．
2222222222又令x?0，y?Ey?F?0，方程的一个解应为y??b，将之代入，得：
b4?Eb2?(?b2)?0，显然b?0，否则抛物线与坐标轴只有两个公共点．
所以b?E?1?0即E?b?1，
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