与圆有关的含参数问题 - 招考通——江苏第一招生考试门户 下载本文

浅谈与圆有关的含参数问题

江苏省海门中学 吴健

作者简介:数学高级教师,海门中学数学科首席教师,海门市数学学科带头人,数学竞赛优秀教练员,辅导的学生在全国联赛中有42人获一等奖,其中3人进入全国冬令营。长期担任高三数学教学工作,所任班级高考成绩在省内处于前列,多次被评为海门市“高考功勋教师”、“海门市高三优秀教师”。

2008年和2009年江苏高考解析几何的重、难点落实在考查直线和圆上,试题很好地体现了《江苏高考数学科考试说明》的规定:圆的标准方程和一般方程为C级要求,直线与圆、圆与圆的位置关系为B级要求.在试题命制时,2008年试题18和2009年试题18不落俗套,大胆创新,引入参数(2009第18题中的参数未直接给出,实际可理解为其中一条直线的斜率),探求定点,试题兼有动与静的美感,深刻地考查了学生的分析探究能力.本文就与圆有关的含参数问题作一粗浅分析,作抛砖引玉之用.

1 与长度、面积有关的最值问题

与直线和圆有关的问题引入参数后,如弦长、切线长、圆面积等常常可以表示为参数的函数,可利用函数思想求出其最值.

例1 已知⊙O:x?y?1和定点A(2,1),由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|?|PA|.

(1)求实数a,b间满足的等量关系; (2)求线段PQ长的最小值;

(3)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点,试求半径最小值时⊙P的方程.

解析 (1)连OP,因为Q为切点,PQ⊥OQ,由勾股定理有|PQ|?|OP|?|OQ| 又由已知|PQ|?|PA|,故|PQ|?|PA| 即 (a?b)?1?(a?2)?(b?1)

化简得实数a、b间满足的等量关系为 2a?b?3?0

(2)由2a?b?3?0,得b=-2a+3 .

22222222222264|PQ|?a2?b2?1?a2?(?2a?3)2?1?5a2?12a?8?5(a?)2?.

55故当a?2625 时,|PQ|min?5,即线段PQ长的最小值为555(3)设⊙P的半径为R,OP设⊙O有公共点,⊙O的半径为1, 所以|R?1|?|OP|?R?1,即R?|OP|?1且R?|OP|?1.

而|OP|?故当a?69a2?b2?a2?(?2a?3)2?5(a?)2?.

556333时,|PQ|min?5,此时b??2a?3?,Rmin?5?1. 5555623235?1)2. 得半径取最小值⊙P的方程为(x?)?(y?)?(555

点评 由于圆的特殊性,与圆有关的问题有时用几何特征解决要比代数方法简捷,上题(3)也可用几何法,求出点O到直线2a?b?3?0的距离d,⊙P半径的最小值即为d?1,从而可求出⊙P方程.

例2 已知圆C:(x?1)2?(y?2)2?25,直线l:(2m?1)x?(m?1)y?7m?4?0(m?R), (1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

分析 若直线和圆相交,则圆心到直线的距离小于半径;若直线过圆内一点,则直线和圆相交,涉及相交弦问题,要注意运用弦长,半径及弦心距三者之间的关系.

解析 (1)由题意直线方程可变形为(2x?y?7)m?(x?y?4)?0

?2x?y?7?0?x?3因为m?R,所以?,所以直线l必过定点A(3,1), ??y?1x?y?4?0??又因为(3?2)2?(1?2)2?5?25,所以点(3,1)在圆C内,故l必与圆C相交.

(2)要使弦长最小时,必须l?AC,

因为圆心C(1,2)和定点A(3,1)所在的直线l1的斜率k1?所以,直线l的方程为2x?y?5?0.

点评 直线和圆的问题的是数形结合的典型“代表”,可以通过求解分析,从代数的角度分析各个量之间的关系,同时也可以通过几何方法来研究它的几何属性.在解决这类问题时,要做到:“既注意几何特征,又利用代数运算”.

2 探求定点

曲线过定点问题的探究一般是写出曲线方程,再分离参数,通过求解方程组找出定点.

例3(2008年江苏高考第18题)平面直角坐标系xoy中,设二次函数f(x)?x?2x?b(x?R)的图象与坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C. ⑴求实数b的取值范围;⑵求圆C的方程;

⑶问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.

21,所以l的斜率k?2, 2???0解析 ⑴由??b?1且b?0.

f(0)?0?⑵解法一

f(x)?x2?2x?b(x?R)的图像与x轴的两个交点

B(?1?1?b,0),D(?1?1?b,0),又f(x)?x2?2x?b(x?R)的图像与y轴交点为A(0,b),显然圆

?1?b?y02?r2心在BD中垂线x??1上,可设圆C:B坐标代人可得?,(x?1)?(y?y0)?r将A,22?1?(b?y0)?r222b?12b2?2b?5,r?解得y0?, 24b?12b2?2b?522)?所以圆方程为(x?1)?(y?,即x?y?2x?(b?1)y?b?0 242

解法二 设所求圆的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0.

令y?0可得x2?Dx?F?0?D?2,F?b,又x?0时y?b,因为b?0从而E??b?1. 所以圆的方程为x2?y2?2x?(b?1)y?b?0.

(3)圆C方程x2?y2?2x?(b?1)y?b?0整理为x2?y2?2x?y?b(1?y)?0,圆C恒过曲线C?:x2?y2?2x?y?0与l:1?y?0的交点,即过定点(0,1)与(?2,1).

点评 与圆有关的问题高三师生往往重点关注直线与圆的位置关系,命题者有意回避,独辟溪径,将二次函数、二次方程、圆方程等知识相结合,设计巧妙,既考查了重点知识,又做到问题设计背景新颖,突出了思维能力的考查.

Y 22例3的变式 考察所有可能的抛物线y?x?ax?b,它们与坐标轴各有三个不同的交点,对于每一条这样的抛物线,过其与坐标轴的三个交点作圆.求证:所在这些圆都经过一定点.

证明 方法一(几何法)

设抛物线y?x?ax?b与x轴的交点(x1,0),(x2,0).

222由韦达定理可知x1x2??b?0(因为若b?0,则y?x?ax?b与坐标轴只有两个不同的交点),

22O X 故点(x1,0),(x2,0)在坐标原点的两侧,又因为|x1|?|x2|?|?b|?1,由相交弦定理的逆定理可知:点(x1,0),(x2,0),(0,?b),(0,1)在同一个圆周上,即过抛物线与坐标轴的三个交点((x1,0),(x2,0),(0,?b)的圆一定过定点(0,1).于是所有的这些圆周均经过一定点(0,1).

方法二(代数法)

设满足条件的动圆C:x?y?Dx?Ey?F?0,

令y?0,则x?Dx?F?0,方程与x?ax?b?0同解,

2所以D?a,F??b.

2222222222又令x?0,y?Ey?F?0,方程的一个解应为y??b,将之代入,得:

b4?Eb2?(?b2)?0,显然b?0,否则抛物线与坐标轴只有两个公共点.

所以b?E?1?0即E?b?1,

22