杭州商学院《概率论与数理统计》课程考试试卷A，适用专业：文科、工科各专业
七、设X1,?,Xn是取自正态总体N(?,?2)的简单随机样本(1?m?n)，
n1m1Y1??Xi，Y2?Xi, ?n?mi?m?1mi?1n1S?(Xi?Y2)2, Z??n?m?1i?m?12m(n?m)Y1?Y2? nS证明: 统计量Z服从自由度为n?m?1的t分布. （8分）
八、设X1,X2,?,Xn是从总体X中抽得的一个简单随机样本，总体X的概率密度函数为
x?1???e , x?0,??0f(x;?)???
? 0 , 其他?求未知参数?的极大似然估计量.（10分）
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九、某纺织厂生产的纱线的强力服从正态分布，为比较甲、乙两地的棉花所纺纱线的强力，各抽取7个和8个样品，测得数据如下：
?xi?17i?10.64, ?yi?11.52，?x?16.1912，?yi2?16.6242，
2ii?111878问：在显著性水平??0.05下，两者的方差与均值有无显著差异？（14分）
(t0.025(13)?2.1604 ;F0.025(6,7)?5.1186,F0.025(7,6)?5.6955)
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杭州商学院2011／2012学年第二学期《概率论与数理统计》试卷(A)答案
一、 单项选择题（每小题2分，共10分）
1、D 2、C 3、B 4、D 5、D 二、 填空题（每小题2分，共16分）
1、 0.1 2、X －2 1 3 P 0.3 0.5 0.2
813、0.5 4、N(0,5) 5、 6、? 7、t(4) 8、
39?(Xi?1ni?X)220H0下?~?2(n?1)
三、解 A为事件“生产的产品是次品”，B1为事件“产品是甲厂生产的”，B2为事件“产品
是乙厂生产的”，B3为事件“产品是丙厂生产的”，则 (1) P(A)??P(ABi)??P(Bi)P(ABi)
i?1i?133?25%?5%?35%?4%?40%?2%?0.0345 ………6分
(2) P(B1A)?P(AB1)P(B1)3 ??P(AB)P(B)iii?125%?5%??0.3623………10分
0.034569四、解 (1) 由分布律的性质得 k?(2)
3． ……….……2分 8 X －1 2 Y －1 0 2
P
79391 P ………6分 161616164P(X?2,Y??1)1?，
P(X?2)9(3) 在X?2条件下Y的条件分布律为
P(Y??1X?2)?P(Y?0X?2)?P(Y?2X?2)?P(X?2,Y?0)2?，
P(X?2)3P(X?2,Y?2)2? …..…….……9分
P(X?2)9(4) X?Y －2 －1 1 2 4
P
33311 .….……12分 81616882x0?x五、解 (1) 由??f(x,y)dxdy?A?dx?dy?4A?1，得A?R21． .……….3分 4第 7 页 共 6 页
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(2) fX(x)???????x?，0?x?2， f(x,y)dy??2??0，其他，?21?1dx，?2?y?0?2?y?0???y4?4(y?2)，????2?1?1fY(y)??f(x,y)dy???dx，0?y?2??(2?y)，0?y?2……….6分
y???4?4?0,?0, 其他其他????(3) 因为f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立.……….……9分 (4) EX??dx?022x114xdy?，EY??dx?ydy?0，E(XY)??x40?x43x?20dx?1xydy?0，则 ?x4xCov(x,y)?E(XY)?EX?EY?0.…….……12分
六、解 设X表示一年内10000个投保人的死亡人数，则X~B(10000,0.006)，
E(X)?60,D(X)?59.64. ..…….…4分
由中心极限定理知, 保险公司年利润Y?120000?1000X所求概率
P{Y?60000}?P{120000?1000X?60000}?P{X?60} ..…….…6分
??(60?6059.64)?0?0.5..…….…8分
七、证 E(Y1)?E(Y2)，D(Y1)??2m，D(Y2)??2n?m,………….2分
n?2??由于Y1,Y2相互独立，故E(Y1?Y2)?0, D(Y1?Y2)?， mn?mm(n?m)U?Y1?Y2n?m(n?m)~N(0,1)， ??2?2?2(n?m?1)S2?2~?2(n?m?1)，………6分
Y1?Y2与S2独立, 由t分布的定义知
Z?m(n?m)Y1?Y2??nSnU?/(n?m?1)?1?12~t(n?m?1).……..8分
八、解 似然估计函数为L(?)??取对数得，lnL(?)??nln??1n1i?1?e?xi??ne??xii?1n，………4分
?i?1?xi，………6分
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杭州商学院《概率论与数理统计》课程考试试卷A，适用专业：文科、工科各专业
dlnL(?)n1n求导得，???2?xi?0，………8分
dx??i?1??则极大似然估计量为?i?1?Xinn2九、解 设甲乙两地的棉花所纺纱线的强力分别为X, Y,且设X~N(?1,?12), Y~N(?2,?2)
S12第一步假设：H0:???，统计量F?2~F(n1?1,n2?1) ………….4分
S22122?X.………10分
F0.025(6,7)?5.1186, F0.975(6,7)?n1?7,n2?8，11??0.1756
F0.025(7,6)5.6955S12171822F?2?0.6079 S1?0.0031, S2?0.0051，x??xi?1.52，y??yi?1.44，7i?18i?1S22经检验，接受H0:?12??2,即认为两者的方差没有显著差异. ………….8分
第二步假设：H0:?1??2，统计量T?Sw2wX?Y11?n1n2~t(n1?n2?2)，
2(n1?1)S12?(n2?1)S2其中S?………….12分
n1?n2?2Sw?0.06463, t?2.391?2.1604?t0.025(13)，
经检验，拒绝H0:?1??2，即认为两者的均值有显著差异. ………….14分
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