第一章 函

§ 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数:

数、极限和连续

?f(x)x?D1 y??g(x)x?D2?-1

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f(y) y=f (x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f(x), D(f)=Y, Z(f)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在D内单调增加( )； 若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )； 若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：

周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数

4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢ 基本初等函数

1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x , (n为实数) 3.指数函数： y=a , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x

6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数

1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)

xn

-1

-1

-1

-1

y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数:

由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数

§ 极 限

一、 主要内容

㈠极限的概念

1.

数列的极限:

limyn??n?A

称数列?yn?以常数A为极限; 或称数列定理: 若

?yn?收敛于A.

n?yn?的极限存在??y?必定有界.

2.函数的极限： ⑴当⑵当

x??时，f(x)的极限：

x?x0时，

x?x0x?x0f(x)的极限：

左极限： 右极限：

lim?f(x)?A lim?f(x)?A

⑶函数极限存的充要条件： 定理：

x?x0limf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?A

x?x0x?x0㈡ 无穷大量和无穷小量 1.无穷大量：limf(x)???

f(x)为无穷大量。

称在该变化过程中

X再某个变化过程是指： 2.无穷小量：

limf(x)?0

f(x)为无穷小量。

1???,(f(x)?0) f(x) 称在该变化过程中

3.无穷大量与无穷小量的关系： 定理：limf(x)?0?lim4.无穷小量的比较：lim? ⑴若lim?0,lim??0

??0,则称β是比α较高阶的无穷小量； ? ⑵若lim??c （c为常数），则称β与α同阶的无穷小量； ? ⑶若lim??1，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α； ? ⑷若lim???,则称β是比α较低阶的无穷小量。 ?定理：若：1?~?1，?2~?2；

?1?2 则：lim㈢两面夹定理

1．

设：

?lim?1?2

数列极限存在的判定准则：

yn?xn?zn （n=1、2、3…）

且：

limyn?limzn?a

n??n??n?? 则： lim2．

xn?a

函数极限存在的判定准则：

设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有： 且： 则：

x?x0x?x0limg(x)?limh(x)?A

x?x0limf(x)?A

㈣极限的运算规则

若：limu(x) 则：①②

?A,limv(x)?B

lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B

lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B

u(x)limu(x)A?? v(x)limv(x)B③lim(limv(x)?0)

[ 推论：①limu1(x)?u2(x)???un(x)]

②lim[c?u(x)]?③lim[c?limu(x)

u(x)]n?[limu(x)]n

㈤两个重要极限

sin?(x)sinx?1 ?1 或 lim 1．lim?(x)?0x?0?(x)x1x 2．lim(1?)?e lim(1?x)x?e

x?0x??x§ 连续

一、 主要内容

㈠ 函数的连续性 1.

函数在x0处连续：

1f(x)在x0的邻域内有定义，

1o 2o

?x?0lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0

?x?0x?x0limf(x)?f(x0)

x?x0 左连续：

lim?f(x)?f(x0) lim?f(x)?f(x0)

右连续：

x?x02.

函数在x0处连续的必要条件：

定理：3.

f(x)在x0处连续?f(x)在x0处极限存在

函数在x0处连续的充要条件：

x?x0 定理：4.

limf(x)?f(x0)?lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0)

x?x0x?x0函数在

?a,b?上连续：

f(x)在?a,b?上每一点都连续。

在端点

a和b连续是指：

x?a?limf(x)?f(a) 左端点右连续；

x?b?limf(x)?f(b) 右端点左连续。

a+ 0 b- x 5. 若

函数的间断点：

f(x)在x0处不连续，则x0为f(x)的间断点。

间断点有三种情况： 1o 2o3o

f(x)在x0处无定义；

x?x0limf(x)不存在；

0limf(x)存在， f(x)在x0处有定义，且x?x 但

x?x0limf(x)?f(x0)。

两类间断点的判断： 1o第一类间断点： 特点：

x?x0lim?f(x)和lim?f(x)都存在。

x?x0可去间断点：

x?x0limf(x)存在，但

x?x0limf(x)?f(x0)，或f(x)在x0处无定义。

2o第二类间断点： 特点：

x?x0lim?f(x)和lim?f(x)至少有一个为∞，

x?x0 或

x?x0limf(x)振荡不存在。

lim?f(x)和lim?f(x)至少有一个为∞

x?x0无穷间断点：

x?x0㈡函数在x0处连续的性质

1. 连续函数的四则运算：

设

x?x0limf(x)?f(x0)，limg(x)?g(x0)

x?x0x?x0 1o

lim[f(x)?g(x)]?f(x0)?g(x0)

2o

x?x0lim[f(x)?g(x)]?f(x0)?g(x0)

3o

f(x)f(x0)??lim?limg(x)?0?? x?x0g(x)x?xg(x0)?0?2. 复合函数的连续性：

则：

x?x0limf[?(x)]?f[lim?(x)]?f[?(x0)]

x?x03. 反函数的连续性：

㈢函数在[a,b]上连续的性质

1.最大值与最小值定理：

f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上一定存在最大值与最小值。