y y +M M f(x) f(x) 0 a b x

m -M 0 a b x

a) 有界定理：

f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上一定有界。 3.介值定理：

f(x)在[a,b]上连续在(a,b)内至少存在一点

?，使得：f(?)?c，

m?c?M

其中：

y y M f(x) C f(x)

0 a ξ b x

m 0 a ξ1 ξ2 b x 推论： f(x)在[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号?在(a,b)内至少存在一点?，使得：

f(?)?0。

b) 初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学 § 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数：

y?f(x)在x0的某个邻域内有定义，

f??(x0)?lim?x?x0 2．左导数：

f(x)?f(x0)

x?x0右导数：

f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)

x?x0 定理：

f(x)在x0的左（或右）邻域上连续在

其内可导，且极限存在；

则：

f??(x0)?lim?f?(x)

x?x0 （或：

f??(x0)?lim?f?(x)）

x?x03.函数可导的必要条件： 定理：

f(x)在x0处可导?f(x)在x0处连续

y?x?x0 4. 函数可导的充要条件： 定理：

?f?(x0)存在?f??(x0)?f??(x0)，

且存在。 5.导函数：

y??f?(x), x?(a,b)

f?(x0) f(x) f(x)在(a,b)内处处可导。 y 6.导数的几何性质：

?y ?x f?(x0)

是曲线

y?f(x)上点 M?x0,y0?处切线的斜率。 o x0 x ㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o（ u?v)??u??v?

2o（ u?v)??u??v?u?v?

u??v?u?v??u? 3 ??? (v?0) 2v?v?o

? 3.复合函数的导数：

dydydu??，或 dxdudx{f[?(x)]}??f?[?(x)]???(x)

{f[?(x)]}?与f?[?(x)]的区别：

{f[?(x)]}?表示复合函数对自变量x求导；

☆注意

f?[?(x)]表示复合函数对中间变量?(x)求导。

4.高阶导数：㈢微分的概念 1.微分： 其中：

f??(x),f???(x),或f(3)(x)

函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。

f(x)在

x的某个邻域内有定义，

A(x)与?x无关，o(?x)是比?x较高

阶的无穷小量，即：limo(?x)?0

?x?0?x 则称

y?f(x)在

x处可微，记作： x处可微?f(x)在

2.导数与微分的等价关系：

定理：且：

f(x)

在

x处可导，

f?(x)?A(x)

3.微分形式不变性：

不论u是自变量，还是中间变量，函数的 微分

dy都具有相同的形式。

§ 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理 1.罗尔定理:

f(x)满足条件:

y f?(?) f?(?) f(x) a o ξ b x a o ξ b x 2.拉格朗日定理：f(x)满足条件: 0,0? 型未定式） ?㈡罗必塔法则：（定理：f(x)和g(x)满足条件： limf(x)?0(或?）1

o

； limg(x)?0(或?）x?ax?a2o在点a的某个邻域内可导，且

g?(x)?0；

f?(x)lim?A,（或?）3ox? a(?)g?(x) 则：

x?a(?)limf(x)f?(x)?lim?A,（或?） x?a(?)g(x)g?(x)☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。

2o若不满足法则的条件，不能使用法则。

0 即不是

0?型或型时，不可求导。

? 3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4o若

f?(x)和g?(x)还满足法则的条件，

可以继续使用法则，即：

5o若函数是0??,???型可采用代数变

0 形，化成

0?或??001,0,?型；若是型可

0 采用对数或指数变形，化成

0㈢导数的应用

1． 切线方程和法线方程： 设：

?或?型。

y?f(x),M(x0,y0)

切线方程：

y?y0?f?(x0)(x?x0)

1(x?x0),(f?(x0)?0)

f?(x0)法线方程：y?y0??2． 曲线的单调性： ⑴

f?(x)?0x?(a,b)?f(x)在(a,b)内单调增加；

3.函数的极值： ⑴极值的定义： 设

f(x)在(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的一点；

x若对于0的某个邻域内的任意点

则称

x?x0，都有：

f(x0)为

是

f(x)的一个极大值（或极小值），

称

x0f(x)的极大值点（或极小值点）。

⑵极值存在的必要条件：

定理：

10.f(x)存在极值f(x0)???f(x0)?002.f?(x0)存在。?

x0称为

f(x)的驻点

⑶极值存在的充分条件： 定理一： 当则 当

x渐增通过x0时，f(x)由（+）变（-）；

f(x0)为极大值；

x渐增通过x0时，f(x)由（-）变（+）；则f(x0)为极小值。

定理二：

f(x0)是极值；10.f?(x0)?0；???0x0是极值点。2.f??(x0)存在。?

若 若

f??(x0)?0，则

f(x0)为极大值； 为极小值。

f??(x0)?0，则

f(x0)☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4．曲线的凹向及拐点：

⑴若⑵

f??(x)?0,x??a,b?；则f(x)在(a,b)内是上凹的（或凹的），（∪）；

f??(x)?0,x??a,b?；则f(x)在(a,b)内是下凹的（或凸的），（∩）；

⑶

5。曲线的渐近线： ⑴水平渐近线： ⑵铅直渐近线：

?x0,f(x0)?称10.f??(x0)?0，???02.f??(x)过x0时变号。?为f(x)的拐点。

第三章 一元函数积分学 § 不定积分

一、 主要内容 ㈠重要的概念及性质： 1．原函数：设：

f(x),F(x),?f(x)

x?D

若：F?(x) 则称 并称

F(x)是f(x)的一个原函数，

F(x)?C是f(x)的所有原函数,

其中C是任意常数。 2．不定积分： 函数

f(x)的所有原函数的全体，

称为函数f(x)的不定积分；记作： 其中：

f(x)称为被积函数；