N2?2?105?1????5.0?106N/m2??5MPa ?2A4?10例题2-4：图2-6表示用两根钢丝绳起吊一扇平板闸门。若每根钢丝绳上所受的力为20kN，钢丝绳圆截面的直径d＝20mm，试求钢丝绳横截面上的应力。

20kN闸门20kN2.5m3.5m图2-6 例题2-4图解：

钢丝绳的轴力N＝P＝20kN＝2×104N 钢丝绳的横截面积A?

?D24???2024?314mm2?3.14?10?4m2，由公式??N可A求得钢丝绳横截面上的应力为

N2?10462????63.7?10N/m?63.7MPa ?4A3.14?102.2 斜截面上的应力

为了全面了解轴向受拉（压）杆中各处的应力情况，在研究了其横截面上的应力以后，还有必要进一步研究其斜截面上的应力。

图2-7表示一轴向受拉杆，假设用一与其横截面mk成?角的斜截面mn（简称为?截面）将其分成为I、II两部分，并取部分I为脱离体（图2-7c），

mPⅠk?ⅡnmP?Pm?PkbPmN?xPn???P?Ⅰk?Ⅰkd???nnc图2-7 轴向受拉杆斜截面上的应力

由静力学平衡方程?X?0，可求得?截面上的内力

N??P

在?截面上的应力为p?，其指向与杆轴线平行。由上节已知，杆的所有纵向“纤维”具有相同的纵向伸长，故应力p?在整个?截面上也是均匀分布的（图2-7c）。内力N?即?截面上应力p?的合力。若以A?与A分别表示?截面m－n与横截面m－k的面积，则

N???p?A?p??dA?p?A?

A?A由图2-7可知

A??A cos?将式（a）、（c）代入式（b），即可求得?截面上的应力p?为

p??N?P?cos???cos?（2-2-2） A?AP为横截面mk上的正应力（图2-7b）。 A式中的??为了研究方便，通常将p?分解为两个分量，即沿?截面法线方向（或垂直于截面）的分量与沿?截面切线方向（或平行于截面）的分量。前者是正应力??，在图2-7d中，??为拉应力，它趋向于使杆在它作用的截面处被拉断；后者是剪应力??，它趋向于使杆在它作．．用的截面处被剪断。 ．．

由图2-7d可知

???p?cos?

将式（2-2）代入，则

????cos2?（2-2-3）

同样由图2-7d可知

???p?sin???cos?sin???sin2?（2-2-4）

式（2-2-3）、（2-2-4）表达出轴向受拉杆斜截面上一点处的??和??的数值随斜截面位置（以?角表示）而变化的规律。同样它们也适用于轴向受压杆。关于角度?和应力??、

12??的正负号规定如下：

?角以自横截面的外向法线量起，到所求斜截面的外向法线为止，是反时针转时为正，

是顺时针转时为负；

正应??仍以拉应力为正，压应力为负；

剪应力??以它对所研究的脱离体内任一点（例如C）的力矩的转向是顺时针转时为正，是反对时针转时为负（参看图2-8）。

nn??????????cc

例题2-5 有一受轴向拉力P＝100kN的拉杆（图2-9a），其横截面面积A＝1000mm2。试分别计算?＝0°、?＝90°及?＝45°各截面上的??和??的数值。

3212图2-8 ?????的正负号规定P=100kN13P=100kN1??P=100MPaAnbP=100kN??1n??cP=100kN22P=100kNn???50MPa3??????=50MPa2dP=100kN3图2-9 例题2-5图

解：

（a）?＝0°的截面即杆的横截面（如图2-9中的截面1-1）。由式（2-3）和（2-4）可分别算得：

P100?103????cos???cos0????A1000?10?6

?100?106N/m2?100MPa22o????sin2???sin(2?0o)??sin0o?0

（b）?＝90°的截面为与杆轴线平行的纵截面（如图2-9a中的截面2-2），同样可算得：

121212????cos290o?0 1o????sin(2?90)?02（c）?＝45°时，同样可算得：

22)?50MPa2

1?1????sin(2?45o)???100?50MPa222????cos245o?100?(将上面算得的正应力??和剪应力??分别表示在它们所作用的截面上，如图2-9b、c、d所示。

分析例题2-5的答案，可得出如下结论，即：在轴向受拉（压）杆的横截面上，只有正应力；在与杆轴线平行的纵截面上，既不存在正应力，也不存在剪应力；在所有的斜截面上，即有正应力，又有剪应力；当?在0°～90°之间变动时，最大正应力?max产生在?＝0°的横截面上且等于?，即?max??，而最大剪应力产生在?＝45°的斜截面上，其数值等于最大正应力的一半，即?max??2。由此可见，根据其材料抗拉能力和抗剪能力的强弱，轴向受

拉（压）杆在轴力较大时，可能沿横截面发生拉断破坏，也可能沿45°斜截面发生剪断破坏。

第三节 轴向拉压杆的变形 胡克定律

3.1 轴向受拉（压）杆的变形

轴向受拉杆的变形主要是轴向伸长。除此以外，杆的横向尺寸也有所缩小（见图2-5a）。至于轴向受压杆，其主要变形为轴向缩短，同时其横向尺寸也有所增大。下面先以轴向受拉杆的变形情况为例，介绍一些有关的基本概念。

设有一原长为l的等直杆，受到一对轴向拉力P作用后，其长度增大为l1，如图2-10所示，则杆的轴向伸长为

?l?l1?l (a)

它给出杆的总伸长量

为进一步了解杆的变形程度，在杆各部分都为均匀伸长的情况下，可求出每单位长度杆的轴向伸长，即轴向线应变为 ．．．．．

?l （2-3-1） l从式（a）知?l为正值，故轴向受拉杆的?亦为正值。

??Pd1d图2-10 轴向受拉杆的变形

下面再研究轴向受拉杆的横向变形，设杆的原有横向尺寸为d，受力变形后缩小为d1

（图2-10），故其横向缩小为

?d?d1?d （b）

而与其相应的横向线应变为

????d （c） d从式（b）可知，受拉杆的?d为负值，故??亦为负值，它与轴向线应变有相反的正负号。

上面介绍的这些基本概念同样适用于轴向受压杆，但受压杆的纵向线应变?为负值，而横向线应变??则为正值。

3.2 胡克定律

由工程中常用材料（例如低碳钢、合金钢等）所制成的轴向受拉（压）杆，已经过一系列的实践证明：当杆所受的外力不超过某一限度时，杆的伸长（缩短）?l与杆所受的外力P、杆的原长l以及杆的横截面面积A之间有如下的比例关系

?l∝

pl Apl （2-3-2a） EANl （2-3-2b） EA引进比例常数E，则有

?l?由于P＝N，此式又可改写为

?l?式（2-3-2a、b）所表达的关系，是英国科学家胡克在一六七八年首先发现的，故称为胡克定律。式中的比例常数E称为弹性模量，它表示材料在拉伸（压缩）时抵抗弹性变形．．．．的能力，其量纲为[力]，在国际单位制中的常用单位是Pa。E的数值随材料而异，是通

2［长度］过试验测定的。