常微分方程期终考试试卷(1)
一、 填空题（30%）
M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只含x的积分因子的充要条件是（ ）
。
y有只含的积分因子的充要条件是______________。
1、方程
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若X1(t),X2(t),,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
'x?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有的关系是?(t)?(t)６、若和都是
_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％）
3ydx?(x?y)dy?01、
２、x???x?sint?cos2t
??1??21?A???(t),?(0)????????14?试求方程组x??Ax的解??2?并求expAt ３、若dydydy?x?y2()3?4xy?8y2?0dx４、dx５、求方程dx经过（0，0）的第三次近
似解
dxdy??x?y?1,?x?y?5dt6.求dt的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三、证明题（１０％）
１、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。
常微分方程期终试卷(2)
一、填空题 30%
1、 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.f(x).?(y)分别为x.y的连
续函数。 2、 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里P(x).Q(x)为x的连续函
???????，可化为线性方程。数.n?0.1是常数。引入变量变换
3、 如果存在常数
L?0,使得不等_____________对于所有
（x,y1),(x,y2)?R都成立，L称为利普希兹常数。函数f(x,y)称为在R上关于y满足利普希兹条件。
4、 形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里a1,a2,是常数。
?(t)是x??A(t)x?f(t)的某一解，则它的任一5、 设?(t)是x??Ax的基解矩阵，解?(t)可表为_____________-。 一、计算题40%
dyydyy?6?xy2的通解。??exyxdxx1.求方程dx的通解。 2.求程
3.求方程x''?6x'?5x?e的隐式解。
2tdy2?x?y通过点（0、0）的第三次近似解。4.求方程dx二、证明题30%
?0?t2t??2???2?'2t1???tt???1.试验证=是方程组x=
a?t?b上的基解矩阵。
'1??x1?2???t??x,x=?x2?，在任何不包含原点的区间
2.设??t?为方程x=Ax（A为n?n常数矩阵）的标准基解矩阵（即?（0）=E），证明:
??t???1(t0)=?(t- t0)其中t0为某一值.
常微分方程期终试卷(3)
一 . 解下列方程(10%*8=80%)
y?22dyy()2'yyx?y?12. dx=6x-x 3. =2
4. xy=
'x2?y22+y 6. {y-x(x+y)}dx-xdy=0
28. 已知f(x)0=1,x?0,试求函数f(x)的一般表达式。 二． 证明题(10%*2=20%)
?xf(t)dt19. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN?0,则(xM?yN)是该方程的一个积分因子。
常微分方程期终试卷（4）
一、填空题 1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。
２、当（ ）时，方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0称为恰当方程，或称全微分方程。
３、函数f(x,y)称为在矩形域Ｒ上关于y满足利普希兹条件，如果（ ）。
k?1４、对毕卡逼近序列，k。
５、解线性方程的常用方法有（ ）。
?(x)??(x)?()６、若i为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（ ）。 ７、方程组x??A(t)x（ ）。
８、若?(t)和?(t)都是x??A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有关系：（ ）。 ９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（ ）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（ ）。
１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（ ）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（ ）。当（ ）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（ ）。
X(t)(i?1,2,?,n)x(t0)??的解１１、若?(t)是x??A(t)x的基解矩阵，则x??A(t)x?f(t)满足（ ）。 二、计算题
求下列方程的通解。
dy?4e?ysinx?1１、dx。
dy??y2?1?()2??1dx?２、?。 dy?x?y2３、求方程dx通过(0,0)的第三次近似解。
求解下列常系数线性方程。 ４、x???x??x?0。
５、x????x?e。
试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性： ６、
三、证明题。
tdxdy??x?y?!,?x?y?5dtdt。
１、１、设?(t)为方程x??Ax（Ａ为n?n常数矩阵）的标准基解矩阵（即?(0)?E)，
?1?(t0)??(t?t0)其中t0为某一值。 ?(t)证明
常微分方程期终考试试卷（5）
一． 填空题 （30分）
dy?P(x)y?Q(x)??P(x)dxdxe1．称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为
_________ 。
2．函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 _______ 。
3． 若?(x)为毕卡逼近序列
??n(x)?的极限，则有?(x)??n(x)?______ 。
dy?x2?y24．方程dx定义在矩形域R:?2?x?2,?2?y?2上，则经过点（0，0）的解
的存在区间是 _______ 。
t?t2te,e,e5．函数组的伏朗斯基行列式为 _______ 。
?6．若i为齐线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐线性方程的一个特解，
则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
''?(t)?(t)x?A(t)xx7．若是的基解矩阵，则向量函数= _______是?A(t)x?f(t)的满
x(t)(i?1,2,?,n)足初始条件
'?(t0)?0的解；向量函数?(t)= _____
?(t0)??的解。 是x?A(t)x?f(t)的满足初始条件
v,v,?,vn，它们对应的特征值分别为
8．若矩阵A具有n个线性无关的特征向量12?1,?2,??n，那么矩阵?(t)= ______ 是常系数线性方程组x'?Ax的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点(x,y)，称为驻定方程组。 二． 计算题 （60分）
10．求方程4xydx?2(xy?1)dy?0的通解。
223dy**dy?edx?x?011．求方程dx的通解。