4. 平抛与圆周运动组合问题

一、基础知识

平抛＋圆周运动往往涉及多个运动过程和功能关系，解题的关键是做好两点分析： 1．临界点分析：对于物体在临界点相关的多个物理量，需要区分哪些物理量能够突变，哪些物理量不能突变，而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的突破口．

2．运动过程分析：对于物体参与的多个运动过程，要仔细分析每个运动过程做何种运动．若为圆周运动，应明确是水平面的匀速圆周运动，还是竖直平面的变速圆周运动，机械能是否守恒；若为抛体运动，应明确是平抛运动，还是类平抛运动，垂直于初速度方向的力是哪个力．

二、典型例题

[例1] 如图所示为竖直放置的四分之一光滑圆弧轨道，O点是其圆心，半径R＝0.8 m，

OA水平、OB竖直．轨道底端距水平地面的高度h＝0.8 m．从轨道顶端A由静止释放一个质

量m1＝0.1 kg小球，小球到达轨道底端B时，恰好与静止在B点的另一个小球m2发生碰撞，碰后它们粘在一起水平飞出，落地点C与B点之间的水平距离x＝0.4 m．忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s.求：

2

(1)碰撞前瞬间入射小球的速度大小v1； (2)两球从B点飞出时的速度大小v2； (3)碰后瞬间两小球对轨道压力的大小．

12解析 (1)从A点运动的小球向下运动的过程中机械能守恒，得：mgR＝mv1

2代入数据得：v1＝4 m/s

(2)两球做平抛运动，根据平抛运动规律得： 12

竖直方向上有：h＝gt

2代入数据解得：t＝0.4 s 水平方向上有：x＝v2t 代入数据解得：v2＝1 m/s

(3)两球碰撞，规定向左为正方向，根据动量守恒定律得：

m1v1＝(m1＋m2)v2

解得：m2＝3m1＝3×0.1＝0.3 kg

碰撞后两个小球受到的合外力提供向心力，

v22

则：FN－(m1＋m2)g＝(m1＋m2)

R代入数据得：FN＝4.5 N

由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力也是4.5 N，方向竖直向下． 答案 (1)4 m/s (2)1 m/s (3)4.5 N 二、针对训练

1．固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道的最高点，

DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，如图所示．今使小球自A点正上方某处由静止释

放，且从A点进入圆弧轨道运动，只要适当调节释放点的高度，总能使球通过最高点D，则小球通过D点后( )

A．一定会落到水平面AE上 B．一定会再次落到圆弧轨道上 C．可能会再次落到圆弧轨道上 D．不能确定

v2D解析：选A.如果小球恰能通过最高点D，根据mg＝m，得vD＝gR，

R知小球在最高点的最小速度为gR. 12

根据R＝gt得：t＝

2

2R. g则平抛运动的水平位移为：x＝gR·

2Rg＝2R.

知小球一定落在水平面AE上．故A正确，B、C、D错误．

2．如图所示，从A点以v0＝4 m/s的水平速度抛出一质量m＝1 kg的小物块(可视为质点)，当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入光滑圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，圆弧轨道C端切线水平，已知长木板的质量M＝4 kg，

A、B两点距C点的高度分别为H＝0.6 m、h＝0.15 m，R＝0.75 m，物块与长木板之间的动

摩擦因数μ1＝0.5，长木板与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2，g取10 m/s.求：

2

(1)小物块运动至B点时的速度大小和方向； (2)小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力； (3)长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板． 12

解析：(1)物块做平抛运动：H－h＝gt

2到达B点时竖直分速度：vy＝gt＝3 m/s

2

v1＝v20＋vy＝5 m/s

vy3方向与水平面的夹角为θ：tan θ＝＝

v04

即：θ＝37°，斜向下

1212

(2)从A至C点，由动能定理mgH＝mv2－mv0

22

v22

设C点受到的支持力为FN，则有FN－mg＝m

R由上式可得v2＝27 m/s，FN＝47.3 N

根据牛顿第三定律可知，物块m对圆弧轨道C点的压力大小为47.3 N，方向竖直向下． (3)由题意可知小物块m对长木板的摩擦力

Ff＝μ1mg＝5 N

长木板与地面间的最大静摩擦力为Ff′

Ff′＝μ2(M＋m)g＝10 N

因Ff＜Ff′，所以小物块在长木板上滑动时，长木板静止不动．

小物块在长木板上做匀减速运动，至长木板右端时速度刚好为0，才能保证小物块不滑出长木板．

则长木板长度至少为l＝＝2.8 m.

2μ1gv22

答案：(1)5 m/s 方向与水平方向的夹角为37°斜向下 (2)47.3 N 方向竖直向下 (3)2.8 m

3

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