受外力有N、Mg和mg，由动量定理：

(N?Mg?mg)?t?mv2mv2?Mg?mg?t

根据牛顿第三定律，滑块对地的平均作用力大小为

N?F?N?方向竖直向下。

mv2?Mg?mg?t

3-12 在X射线散射实验中，测得入射光子的动量为1.177?10子碰撞后沿与入射方向成?/2的方向弹开，动量变为1.128?10?13?13kg?m?s?1，光子与电

kg?m?s?1。设碰撞前电

子静止，求碰撞后电子的动量。

解：设入射光子动量为p0，与电子碰撞后光子动量为p1，电子被碰撞后动量为p2，

如图所示。以光子和电子为研究对象，碰撞过程中动量守恒：

p0?p1?p2p0?p2cos?0?p1?p2sin?

联立以上两式，解之得

22p2?p0?p1?1.1772?1.1282?10?13

题3-12图

=1.630?10?13(kg?m?s?1)

??arctg??

?p1??1.128????arctg???43.78??1.177??p2?

3-13 一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有10kg的水，桶的质量为1kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水，求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功。 解：以井中水面为坐标原点，取竖直向上为y轴正方向。将水桶提到高为y处瞬时，人

用力的大小为F?mg?ky

?1式中m为满桶水加水桶的质量，k为每升1m漏掉的水的重量，即k?0.2gN?m

水桶再升高dy，力F做的功为

??dA?Fdy??mg?ky?dy

设水是从井水面处打起的，则将一桶水提到井口处，力F做的功为

10A?dA????mg?ky?dy

01????mgy?ky2?|1002??1?11?9.81?10??0.2?9.81?1022?981?J?

3-14 如图所示的系统中（滑轮质量不计，轴光滑），外力F通过不可伸长的绳子和一?1劲度系数k?200N?m的轻弹簧缓慢地拉地面上的物体，物体的质量M?2kg，初始时弹簧为自然长度。求在把绳子拉下20cm的过程中，F所做的功。（重力加速度g取10m?s?2）

解：F力刚向下拉时，弹簧伸长，物体并未被拉离地面。设物体开始离地时弹簧伸长x0，则由kx0?Mg，得

x0?Mg2?10??0.1?m?k200

0?x?x0x?x0

此后物体匀速上升。力F的变化为

?kxF???MgF力向下拉h?20cm过程中，做功为

A?题3-14图

?x00kxdx??hx0Mgdx?12x0kx|0?Mgx|hx021??200?0.12?2?10?(0.2?0.1)2?3?J?

3-15 如图，长为L、质量为m的匀质链条，置于水平桌面上，链条与桌面间的摩擦系数为?，下垂部分的长度为a。链条由静止开始运动，求在链条滑离桌面过程中，重力和摩擦力所做的功和链条离开桌面时的速率。

解：建立如图坐标系，设下垂部分链条长度为x,受到的重力大小为

P?mxgL AP?在链条滑离桌面的过程中，重力所做的功为

?LaPdx??LamgmgL2?a2xdx?L2L

??桌面上链条长为(L?x)，在滑动中受到的摩擦力大小为

在链条滑离桌面的过程中，摩擦力所做的功为

f???L?x?mgL题3-15图

Af??f?dl????LaLafdxmgdx????L?x?L2L设链条离开桌面时的速率为v，由动能定理

???mg?L?a?2

2mgL2?a2?mg?L?a?1AP?Af???mv22L2L2

得

??v?

g22L?a2???L?a?L

??3-16 如图所示，一弹簧劲度系数为k，一端固定在A点，另一端连一质量为m的物

体，靠在光滑的半径为a的圆柱面，弹簧原长为AB。在切向变力

F的作用下，物体极缓慢地沿表面从位置B移到C，求力F做的

功。

（1）用积分方法解； （2）用动能定理解； （3）用功能原理解。

解：（1）在任一位置，物体所受的力有重力P?mg，弹簧拉力f?kx?ka?，支持力N和切向拉力F（方向如图所示）。物体

题3-16图

极缓慢地运动，可以认为任一时刻都处于平衡状态，由?F?0，可得

F?mgcos??ka?

F的功为

AF?F?dl?Fdl??magsin??????mgcos??ka??ad?0?122ka?2

（2）因为物体极缓慢地运动，?Ek?0，由动能定理，外力功的代数和为零，即

AF?Af?AP?AN?0AF??Af?AP?AN???a?0kxdx?mgasin??0122ka??magsin?2

（3）由功能原理：

AF?AN?AF?0??Ek??EP?0??EP

1AF??EP?ka2?2?magsin?2得

3-17 一质量为m的人造地球卫星沿一圆形轨道，离开地面的高度等于地球半径的二倍（即2R）。试以m、R引力恒量G和地球质量M表示出：

（1）卫星的动能；

（2）卫星在地球引力场中的引力势能； （3）卫星的总机械能。 解：（1）由牛顿第二定律

G得人造卫星的动能为

mM?3R?2mv2?3R

1GMmEk?mv2?26R

（2）以无穷远处为引力势能零点，人造卫星的势能为

EP???3R?GMmGMmdr??3R r2（3）卫星的总机械能为

E?Ek?EP?

GMmGMmGMm???6R3R6R

3-18 一长为L的轻棒，其上固定装有质量分别为M1和M2的两个小球：M1在棒的一

端，M2在棒的中点。棒可绕光滑轴A自由转动。初始时棒铅直悬挂，如图所示。现有一质

?量为m的油灰球以水平速度v0撞击M2，使棒刚能转过90而达到水平位置。设碰撞是完全非弹性的，且M1?m,M2?4m,L?1m，求油灰球速度v0的大小。

解：在碰撞过程中，m、M1和M2组成的系统所受外 力对A轴的力矩为零，系统角动量守恒，设碰后杆的角速 度为?，则有

2?L??L?2mv0????M2?m????M1L??2??2????

题3-18图

以m、M1、M2和地球为系统，在转动过程中只有保

守内力做功，系统机械能守恒。设M1原来的位置为势能零 点，则有

2?21?L?L?2???M2?m???M1L????M2?m?g??M1?M2?m?gL2?2?2????

由以上两式可以解出

v0

63g63?9.81??24.9L1?m?s??1