2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

9．数列

一、选择题 （2017·3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 （2015·4）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =（ ）

A．21

B．42

C．63

D．84

（2013·3）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3?a2?10a1，a5?9，则a1?（ ）

1A. 3

1B.?

3

1C. 9

1D.?

9（2012·5）已知{an}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（ ）

A. 7 二、填空题

（2017·15）等差数列?an?的前n项和为Sn，a3?3，S4?10，则

B. 5

C. -5

D. -7

?Sk?1n1k? ．

（2015·16）设Sn是数列{an}的前项和，且a1??1，an?1?SnSn?1，则Sn=________________． （2013·16）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10?0，S15?25，则nSn的最小值为____. （2012·16）数列{an}满足an?1?(?1)nan?2n?1，则{an}的前60项和为 . 三、解答题

（2016·17）（满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28. 记bn=[lgan]，其中[x]表示不超

过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1 000项和.

（2014·17）已知数列{an}满足a1 =1，an+1 =3 an +1. （Ⅰ）证明{an?1}是等比数列，并求{an}的通项公式；

2（Ⅱ）证明：1?1?…?1?3.

a1a2an2

（2011·17）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn?log3a1?log3a2?LL?log3an，求数列{1}的前n项和.

bn2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

9．数列（逐题解析版）

一、选择题

（2017·3）B【解析】一座7层塔共挂了381盏灯，即S7?381；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，

a1?1?qn?1?q即q?2，塔的顶层为a1；由等比前n项和Sn??q?1?可知：S7?a1?1?2n?1?2?381，解得a1?3.

（2015·4）B【解析】：设等比数列公比为q，则a1+a1q2+a1q4=21，又因为a1=3，所以q4+q2-6=0，解得q2=2，所以a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42，故选B. （2013·3）【答案：C】

解析：由S3=a2+10a1，得，a1+a2+a3=a2+10a1即，a3=9a1，亦即a1q2=9a1，解得q2=9. ∵a5=a1·q4=9，即81a1=9，∴a1=1.

9（2012·5）．【答案：D】解析：∵a4?a7?2，a5a6?a4a7??8，?a4?4，a7??2或a4??2，a7?4，

∵a1，a4，a7，a10成等比数列，?a1?a10??7.

二、填空题 （2017·15）

2n,n?N?【解析】∵ S4?10，a2?a3?a1?a4 ，∴ a2?a3?5，∵ a3?3，∴ a2?2 ∴ n?1n?a1?an?2an?n，∵ Sn? ∴ Sn?2121??1 ∴ ??2???Snn?n?1?n?n?1??nn?1?1n

∴

11?2n?，∴ ?2?1?????n?1?n?1 i?1Snn?Si?1n?2n,n?N? n?1（2015·16）?【解析】由已知得an?1?Sn?1?Sn?Sn?1?Sn，两边同时除以Sn?1?Sn，得

1n11???1，Sn?1Sn故数列??1?11??1?(n?1)??n是以为首项，为公差的等差数列，则，所以． S???1?1?nSnSn?n?10?9d＝10a1＋45d＝0①，S152（2013·16）-49【解析】设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝10a1＋＝15a1?15?142

，所以d＝15a1＋105d＝25②，联立①②，得a1＝-3，d?

23

11020n(n?1)21210Sn??3n???n?n. 令f(n)＝nSn，则f(n)?n3?n2，f?(n)?n2?n. 令f ′(n)＝0，得n

233333320202020＝0或n?. 当n?时，f ′(n)＞0,0

3333＋

，则f (6)＝-48，f (7)＝-49，所以当n＝7时，f (n)取最小值-49.

（2012·16）1830【解析】由an?1?(?1)nan?2n?1得?由②?①得，a2k?1?a2k?1?2③

??a2k?a2k?1?4k?3L①，

??a2k?1?a2k?4k?1L②由①得，S偶?S奇?(a2?a1)?(a4?a3)?(a6?a5)?L?(a60?a59)?1?5?9?L?117?(1?117)?30?1770. 2由③得，S奇?(a3?a1)?(a7?a5)?(a11?a9)?L?(a59?a57)?2?15?30， 所以S60?S偶?S奇?(S偶?S奇)?2S奇?1770?2?30?1830. 三、解答题

（2016·17）.（满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28. 记bn=[lgan]，其中[x]表示不超

过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1 000项和.

（2016·17）解析：⑴设数列?an?的公差为d，S7?7a4?28，∴a4?4，∴d?∴an?a1?(n?1)d?n．∴b1??lga1???lg1??0，b11??lga11???lg11??1， b101??lga101???lg101??2．

a4?a1?1， 3⑵记?bn?的前n项和为Tn，则T1000?b1?b2?????b1000??lga1???lga2???????lga1000?． 当0≤lgan?1时，n?1，2，???，9；当1≤lgan?2时，n?10，11，???，99； 当2≤lgan?3时，n?100，101，???，999；当lgan?3时，n?1000． ∴T1000?0?9?1?90?2?900?3?1?1893．

111132?3，（2014·17）．解析：（Ⅰ）证明：∵an?1?3an?1，∴an?1??3(an?)，即：又a1??，

12222an?2an?1?3n?11313n?1∴{an?}是以为首项，3为公比的等比数列．∴an???3，即an?.

222223n?11231?n?n?n?1(n?N*)， （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知an?，∴

an3?133211?()n1111113?3[1?(1)n]?3 ∴???????1??2?????n?1a1a2an3332321?31113?????? 故：?a1a2an2232（2011·17）解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3所以q2??9a2a6得a3?9a41. 由条件可知a>0，故9111q?. 由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?. 故数列{an}的通项式为an?n.

333n(n?1)， 21211111111112n故??， ??2(?)，??L???2((1?)?(?)?L?(?))??b1b2bn223nn?1n?1bnn(n?1)nn?1（Ⅱ ）bn?log3a1?log3a2?LL?log3an=?(1?2?LL?n)??所以数列{12n}的前n项和为?. bnn?1