2018高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形 下载本文

第2讲 三角恒等变换与解三角形

一、选择题

31

1.(2017·衡水中学月考)已知α为锐角,cos α=,tan(α-β)=-,则tan β

53的值为( )

1913

A. B.3 C. D. 31393解析:由α为锐角,cos α=,

54

得sin α=,

5

41

所以tan α=,因为tan(α-β)=-,

33

tan α-tan(α-β)

所以tan β=tan[α-(α-β)]==3.

1+tan α·tan(α-β)答案:B

π22

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c=(a-b)+6,C=,则

3△ABC的面积是( )

9333

A.3 B. C. D.33

22

解析:c=(a-b)+6,即c=a+b-2ab+6.① π222

因为C=,由余弦定理得c=a+b-ab,②

3由①和②得ab=6,

11333

所以S△ABC=absin C=×6×=.

2222答案:C

372π

3.(2017·德州二模)已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,那么5102β=( )(导学号 55410106)

A.

ππππ

B. C. D. 12643

2

2

2

2

2

3π解析:由cos α=,0<α<,

52

4

得sin α=,

5

72π

又cos(α-β)=,0<β<α<,

102得sin(α-β)=

2, 10

372

则cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+

510422×=, 5102

ππ

由0<β<,得β=.

24答案:C

?π?1则cos?2x-5π?+sin2?π-x?的值为( )

4.(2017·韶关调研)已知cos?x-?=,??3?3?33??????

1155A.- B. C. D.- 9933

5π?2?π?π???2?π22?解析:cos?2x-?+sin?-x?=-cos?2x-π?+sin(x-)=1-2cos?x-?3?3?3?3??3???π?π?52?2?+1-cos?x-?=2-3cos?x-?=.

3?3?3??

答案:C

5.(2017·山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )

A.a=2b C.A=2B

B.b=2a D.B=2A

解析:因为2sin Acos C+cos Asin C=sin A·cos C+sin(A+C)=sin Acos C+sin

B.

所以等式左边去括号,得

sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B, 则2sin Bcos C=sin Acos C,

因为角C为锐角三角形的内角,所以cos C不为0. 所以2sin B=sin A,根据正弦定理变形,得a=2b. 答案:A 二、填空题

6.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=

6,c=3,则A=________.

解析:由正弦定理,得sin B=bsin C=c6×3

32

2. 2

又b<c,则B为锐角,所以B=45°. 因此A=180°-(B+C)=75°. 答案:75°

7.(2017·池州模拟)已知sin?学号 55410107)

解析:因为sin?

?π-α?=1?0<α<π?,?π?则sin?+α?=________.(导???2??3?3??6?

?π-α?=1,

?3

?3?

ππ?π??????π?+α所以cos?=cos?-?-α??=sin?-α?; ?

???6??3??2?3πππ2π

又0<α<,所以<+α<. 2663

?π?所以sin?+α?= ?6?

22. 3

22答案:

3

?π?1-cos?+α?= ?6?

2?1?1-??=

?3?

2

8.△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=________.

解析:由

c-bsin A=,则B2c-asin B+sin Cc-bsin A=及正弦定理, 2c-asin B+sin C得

c-ba222

=,则a+c-b=2ac, 2c-ab+ca2+c2-b22π

所以cos B==,从而B=.

2ac24

π

答案: 4三、解答题

9.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+3cos

A=0,a=27,b=2.

(1)求c;