第2讲 三角恒等变换与解三角形

一、选择题

31

1．(2017·衡水中学月考)已知α为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β

53的值为( )

1913

A. B．3 C. D. 31393解析：由α为锐角，cos α＝，

54

得sin α＝，

5

41

所以tan α＝，因为tan(α－β)＝－，

33

tan α－tan（α－β）

所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝3.

1＋tan α·tan（α－β）答案：B

π22

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c＝(a－b)＋6，C＝，则

3△ABC的面积是( )

9333

A．3 B. C. D．33

22

解析：c＝(a－b)＋6，即c＝a＋b－2ab＋6.① π222

因为C＝，由余弦定理得c＝a＋b－ab，②

3由①和②得ab＝6，

11333

所以S△ABC＝absin C＝×6×＝.

2222答案：C

372π

3．(2017·德州二模)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么5102β＝( )(导学号 55410106)

A.

ππππ

B. C. D. 12643

2

2

2

2

2

3π解析：由cos α＝，0＜α＜，

52

4

得sin α＝，

5

72π

又cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，

102得sin(α－β)＝

2， 10

372

则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋

510422×＝， 5102

ππ

由0＜β＜，得β＝.

24答案：C

?π?1则cos?2x－5π?＋sin2?π－x?的值为( )

4．(2017·韶关调研)已知cos?x－?＝，??3?3?33??????

1155A．－ B. C. D．－ 9933

5π?2?π?π???2?π22?解析：cos?2x－?＋sin?－x?＝－cos?2x－π?＋sin(x－)＝1－2cos?x－?3?3?3?3??3???π?π?52?2?＋1－cos?x－?＝2－3cos?x－?＝.

3?3?3??

答案：C

5．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )

A．a＝2b C．A＝2B

B．b＝2a D．B＝2A

解析：因为2sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C＋sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin

B.

所以等式左边去括号，得

sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B， 则2sin Bcos C＝sin Acos C，

因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0. 所以2sin B＝sin A，根据正弦定理变形，得a＝2b. 答案：A 二、填空题

6．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝

6，c＝3，则A＝________．

解析：由正弦定理，得sin B＝bsin C＝c6×3

32

＝

2. 2

又b＜c，则B为锐角，所以B＝45°. 因此A＝180°－(B＋C)＝75°. 答案：75°

7．(2017·池州模拟)已知sin?学号 55410107)

解析：因为sin?

?π－α?＝1?0＜α＜π?，?π?则sin?＋α?＝________．(导???2??3?3??6?

?π－α?＝1，

?3

?3?

ππ?π??????π?＋α所以cos?＝cos?－?－α??＝sin?－α?； ?

???6??3??2?3πππ2π

又0＜α＜，所以＜＋α＜. 2663

?π?所以sin?＋α?＝ ?6?

22. 3

22答案：

3

?π?1－cos?＋α?＝ ?6?

2?1?1－??＝

?3?

2

8．△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝________．

解析：由

c－bsin A＝，则B2c－asin B＋sin Cc－bsin A＝及正弦定理， 2c－asin B＋sin C得

c－ba222

＝，则a＋c－b＝2ac， 2c－ab＋ca2＋c2－b22π

所以cos B＝＝，从而B＝.

2ac24

π

答案： 4三、解答题

9．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos

A＝0，a＝27，b＝2.

(1)求c；