1
以代替①中的x(x≠0)，得 x1?32f ?＋f (x)＝－1，② ?x?x
3
①×2－②，得3f (x)＝6x－－1，
x11
故f (x)＝2x－－(x≠0)．
x3
分段函数 命题点1 求分段函数的函数值
??3x＋1，x<2，?2??＝－6，则实数a的值为________，f (2)例2 (1)已知函数f (x)＝?2若f ?f ??3???x＋ax，x≥2，?
＝________. 答案 －5 －6
2?2
解析 由题意得，f ?＝3·＋1＝3， ?3?3
?2??＝f (3)＝9＋3a＝－6， 所以f ?f ??3??
所以a＝－5，f (2)＝4－5×2＝－6.
πx??cos 2，x≤0，(2)已知f (x)＝?则f (2)＝________.
??f ?x－1?＋1，x>0，答案 3
π?
解析 f (2)＝f (1)＋1＝f (0)＋2＝cos??2×0?＋2＝1＋2＝3.
命题点2 分段函数与方程、不等式问题
x??2，x≤0，1例3 设函数f (x)＝?则使f (x)＝的x的集合为__________．
2??|log2x|，x>0，
答案 ?－1，2，
?
?
2?
? 2?
1
解析 由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；
21
若x>0，则|log2x|＝，解得x＝22故所求x的集合为?－1，2，
??
12 或
x＝2?12.
2??. 2?
1
本例中，则使f (x)>的x的集合为________．
2
??2
或x>2? 2?????
1
解析 当x≤0时，由2x>得－1 2 答案 ?x?－1 12 当x>0时，由|log2x|>得0 22综上，所求x的集合是?x?－1 ???? ? ??2 或x>2?. 2?? 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路 ①求函数值：当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值． ②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值， 切记要代入检验． (2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来． x＋1，x≥0，?? 跟踪训练2 (1)设函数f (x)＝?1则f (f (－1))＝________. ，x<0，??2x答案 3 1 解析 ∵f (－1)＝－1＝2， 2∴f (f (－1))＝f (2)＝3. x??2，x≤0， (2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数f (x)＝?则满足f (x＋1) ?1，x>0，? － ________． 答案 (－∞，0) ??x＋1≤0，－＋－ 解析 方法一 ①当?即x≤－1时，f (x＋1) ?2x≤0，? －2x， 解得x<1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]． ??x＋1≤0， ②当?时，不等式组无解． ?2x>0? ??x＋1>0，－ ③当?即－1 ??2x≤0，??x＋1>0，④当?即x>0时，f (x＋1)＝1，f (2x)＝1，不合题意． ?2x>0，? 综上，不等式f (x＋1) x??2，x≤0， 方法二 ∵f (x)＝? ?1，x>0，? － ∴函数f (x)的图象如图所示． 由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f (x)为减函数，故f (x＋1) 当2x<0且x＋1>0时，f (2x)>1，f (x＋1)＝1， 满足f (x＋1) 综上，不等式f (x＋1) 第2课时 函数的定义域与值域 函数的定义域 求下列函数的定义域： 1 (1)y＝＋x2－1； 2－|x|(2)y＝25－x2＋lg cos x； x－1 －log2(4－x2)； 2x1 (4)y＝＋(2x－5)0. log0.5?x－2?(3)y＝ ??2，?2－|x|≠0，?x≠± 解 (1)由?2得? ?x－1≥0，???x≤－1或x≥1. ? 所以函数的定义域为{x|x≤－1或x≥1且x≠±2}． ?2???25－x≥0， (2)由?得?ππ ?2kπ－ －5≤x≤5， 2 2 3ππ3π －5，－π?∪?－，?∪?，5?. 所以函数的定义域为?2??22??2??x－1 ??2x≥0， (3)要使函数有意义，必须?x≠0， ??4－x>0， 2