数列的求和问题

【学习目标】

1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2．掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式；

3．熟练掌握求数列的前n项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和.

【要点梳理】

要点一、数列的前n项和Sn的相关公式

任意数列的第n项an与前n项和Sn之间的关系式：

(n?1)?S1an??

?Sn?Sn?1(n?2)等差数列的前n项和Sn公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d?An2?Bn（A、B为常数） 22当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0； 当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式. 等比数列的前n项和Sn公式：

当q?1时，an?a1，Sn?a1?a2?a3??an?na1，

a1(1?qn)a?anq当q?1时，Sn?或Sn?1

1?q1?q要点诠释：等比数列的求和中若q的范围不确定，要特别注意q?1的情况. 要点二、求数列的前n项和的几种常用方法 公式法：

如果一个数列是等差或者等比数列，求其前n项和可直接利用等差数列或等比数列的前

n项和公式求和；

倒序相加法：

等差数列前n项和的推导方法，即将Sn倒写 后再与Sn相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.

裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.

例如对通项公式为an?常见的拆项公式： ①

1的数列求和.

n(n?1)1111??(?)；

n(n?k)knn?k1111?(?)；

an?an?1danan?1②若{an}为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则

③若{an}的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则an?1111?(?).

(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?C1n?1?n?n?1?n；

1n?k?n?1(n?k?n). k④

分解求和与并项求和法：

把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和.

错位相减法：

如果一个数列?an?的通项是由一个非常数列的等差数列?bn?与等比数列?cn?的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为an?bn?cn（其中?bn?是公差d≠0的等差数列，?cn?是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前n项和Sn.例如对通项公式为an?(2n?1)?2n的数列求和.

一般步骤：

Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn，则 qSn?b1c2????bn?1cn?bncn?1

所以有(1?q)Sn?b1c1?(c2?c3???cn)d?bncn?1 要点诠释：

①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前n项和的两边都乘以等比数列的公比q后，再错位相减求出其前n项和；

②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若

q=1，错位相减法会不成立.

要点三、掌握一些常见数列的前n项和公式 1. 1?2?3????n?2. 1?3?5?n(n?1)； 2?(2n?1)?n2

n(n?1)(2n?1)；

622223. 1?2?3????n?要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便. 【典型例题】

类型一：公式法：直接利用或者转化后利用等差或等比数列求和公式

例1．设数列?an?的通项为an?2n?7(n?N*),则|a1|?|a2|?……+|a15|=

举一反三：

【变式】已知?an?是首项为1的等比数列，Sn是?an?的前n项和，且9S3?S6,则数列??1??的前5项和为 a?n?类型二：错位相减法

3例2．设a?0，求数列：a,2a2,3a,…, nan,…的前n项和Sn.

举一反三：

【高清课堂：数列的求和问题381055 典型例题3】

【变式1】求和Sn?1?2x?3x2?4x3?...?nxn?1（x?R）.

【变式2】求数列

1234n,,,,???,n,???的前n项和Sn. 248162