第23讲 正弦定理和余弦定理的应用

考试说明 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

考情分析

考点 解三角形与三角恒等变换 三角函数与解三角形 解三角形的实际应用

考查方向 利用三角恒等变换解三角形,在三角形中求三角函数值 三角函数性质与解三角形的综合 考例 2017全国卷Ⅱ17,2017全国卷Ⅰ11,2016全国卷Ⅱ13 考查热度 ★☆☆ ★☆☆ 实际应用中距离、高度、角度的计算 ★★☆ 真题再现

■ [2017-2013]课标全国真题再现

[2016·全国卷Ⅱ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .

[答案]

[解析] ∵cos A=,cos C=,且A,C为三角形的内角,∴sin A=,sin C=,∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos

Asin C=.由正弦定理得=,解得b=.

■ [2017-2016]其他省份类似高考真题

1.[2015·湖北卷] 如图3-23-1,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.

[答案] 100

[解析] 依题意,在△ABC中,AB=600,∠BAC=30°,∠ACB=75°-30°=45°.由正弦定理得=,即

=,所以BC=300.在△BCD中,∠CBD=30°,CD=BCtan∠CBD=300·tan 30°=100.

2.[2014·四川卷] 如图3-23-2所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC等于 ( )

A.240(

-1)m B.180(-1)m

C.120(-1)m D.30(+1)m

[解析] C 由题意可知,AC==120.

∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,所以sin∠ABC=sin 105°=sin(60°+45°)=sin

60°cos 45°+cos 60°sin 45°=.

在△ABC中,由正弦定理得=,

于是BC===120(-1).故选C.

【课前双基巩固】 知识聚焦

1.水平视线 上方 下方 2.正北方向 3.水平角 4.水平面 水平长度 对点演练

1.5 [解析] 由题可知∠ACB=60°,由正弦定理得=,即=,得BC=5.

2.2或 [解析] 如图所示,应有两种情况.由正弦定理,得

;当A=120°,AB==,∴sin A==,∴A=60°或

A=120°.当A=60°时,AB=2.

3. [解析] 由题意可得,在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.

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由余弦定理可得AB=AC+BC-2AC·BC·cos∠ACB,即3.5=1.4+2.8-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos

α=,所以sin α=,

所以tan α==.

4. [解析] 在△BCD中,∠CBD=π-α-β.由正弦定理得=,所以BC==.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=5.130° [解析] 60°+70°=130°.

.

6.南偏西80° [解析] 由条件及图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°的方向. 7.200° [解析] 根据方位角的概念可得.

8.20 m [解析] 由已知,四边形CBMD为正方形,∵CB=20 m,∴BM=20 m.又在Rt△AMD中,DM=20 m,

∠ADM=30°,∴AM=DMtan 30°=【课堂考点探究】

(m),∴AB=AM+MB=+20=201+ m.

例1 [思路点拨] 先解△ACD,得出AD,再解Rt△BCD,得出BD,最后在△ABD中,由余弦定理求AB.