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第三课时 定点、定值、存在性专题

【选题明细表】

知识点、方法 定点问题 定值问题 存在性问题 题号 5 1,2,4,6 1,3,5,7,8 1.导学号 38486189(2017·长春市二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x-y+4=0相切. (1)求该抛物线的方程;

(2)在x轴正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得的坐标;如果不存在,请说明理由. 解:(1)联立方程组

+

为定值.如果存在,求出点M

有y2-2py+8p=0,由于直线与抛物线相切, 得Δ=8p2-32p=0,p=4,所以y2=8x. (2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m>0), 直线l:x=ty+m,有

所以y2-8ty-8m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2), 有y1+y2=8t,y1y2=-8m, |AM|2=(x1-m)2+=(t2+1) ,

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|BM|2=(x2-m)2+=(t2+1),

+

=

+

===若

·(···

)

,

为常数,对于任意的t∈R,只有4t2+m是t2+1的4倍,

所以m=4, 当m=4时,

+

为定值,所以M(4,0).

2.导学号 38486190(2017·四川广元市一模)已知椭圆E:+=1 (a>b>0)经过点P(2,),一个焦点为F(2,0). (1)求椭圆E的方程;

(2)设直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A,B两点,O为坐标原点,椭圆E的离心率为e,若kOA·kOB=e2-1.求证:△AOB的面积为定值. (1)解:由题意知,c=2,b2=a2-4, 代入P点的坐标得+

=1,解得a2=8,

所以椭圆E的方程为+=1. (2)证明:e==

=,所以kOA·kOB=e2-1=-,

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将y=kx+m代入+=1. 化得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0. 记A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=, =-, ,

因为kOA=,kOB=,所以所以y1y2=-x1x2=

而y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

)+m2

==

,

+km·(

所以m2=4k2+2,

设点O到直线AB的距离为d,则d=而|AB|===

,

··

,

=,

代入m2=4k2+2得|AB|=所以S△AOB=·

·

=2,

所以△AOB的面积为定值2.