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§1-3 无穷小量和无穷大量

牛顿-莱布尼茨的微积分中说的“无穷小数”同我们现在说的“无穷小量”是不同的。当时说的“无穷小数”是设想为像虚数?1那样神秘的理想元素。由于理论基础上的缺陷, 所以当时就陷入了没有结果的争论之中。这也是当时像罗尔（Rolle,M. 1652--1719）这样的一些数学家们不接受微积分的原因之一。近代微积分的奠基人柯西从严处理了微积分的基本概念, 并把“无穷小量”说成是极限为，即称变量y为无穷小量，若它在无限变化过．．．0的变量．．．程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值y小于预先给出的任何正数。例如，

数列

11,m(n??)和当x?0时的函数xn,nnnx,sinx,tanx等

都是无穷小量。无穷小量在微积分中起的作用相当于常量数学中的“零”。可是，它不是常量[?(x)?0是一个特例]，所以又不同于“零”。在某个极限过程（n??或x??）中的无穷小量就简记成o(1)[读作“小欧”，不能读作零]。小欧“o”是牛顿当初用过的记号.资料个人收集整理，勿做商业用途 定理1-1limf(x)?C??f(x)?C?o(1)(x??).

x??(充分必要条件)

特别，

函数f(x)在点c连续??f(x)?f(c)?o(1)(x?c)（※）

证若limf(x)?C，则lim[f(x)?C]?0，即

x??x??f(x)?C?o(1)(x??) 或 f(x)?C?o(1)(x??)

反之，若f(x)?C?o(1)(x??)，则

特别，当函数f(x)在点c连续时，因为limf(x)?f(c)，所以有结论(※).例如，当

x?cx?c时，

xn?cn?o(1)， sinx?sinc?o(1)， cosx?cosc?o(1)

1.无穷小量的运算规则利用极限的运算规则，容易证明无穷小量的下述运算规则：若

o(1)是某一个极限过程(n??或x??)中的无穷小量，根据极限的运算规则，则有资料个人收集整理，勿做商业用途 ⑴O?o(1)o(1)[其中O是有界变量（*），特别它可以是常数]；

⑵o(1)?o(1)?o(1)，o(1)?o(1)?o(1). 它们与常量的运算规则是不同的！ ．．．．．．．．．．．．．．

2.无穷小量的比较在某一个极限过程中，把某一个不取0值的无穷小量?看作“基本无穷小量”，而把另一个无穷小量?与基本无穷小量?相比较.若有极限资料个人收集整理，勿做商业 （*）

记号O读作“大欧”，也不能读作“零”。

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用途 则在这个极限过程中，

⑴当l?0时，称?与?为同阶无穷小量.特别，当l?1时，称?与?为等价无穷小量，并记成???或???.例如sinx?x(x?0)，tanx?x(x?0)，因为

⑵当l?0时，?与?相比较，称?为高阶无穷小量，并记成??o(?).例如，当x?0时，x32?o(x),x2?o(x).

32?tan3x?13x?1x?1??lim?3??例8lim? 323232x?1x?1x?1x?1sinx?1?sinx?1???tan3x?1注意，其中当x?1时，tan3x?1?3x?1,sin3x2?1?3x2?1. 定理1-2 设?和??0在某一个极限过程中是等价无穷小量，则在这个极限过程中，

lim(???)?lim(???)（等价无穷小量替换）

[和或差的极限lim(???)不能用等价无穷小量替换！]

证lim??????lim????1?lim??????lim?????. ??????????x2x2?,sinx2?x2，所以 例如，当x?0时，因为sin22再如，当x?1时，因为tan3x?1?3x?1，sin3x2?1?3x2?1，所以例8就可以简单地做成

定理1-3 若??0在某一个极限过程中是基本无穷小量，则在这个极限过程中，有高阶无穷小量的运算规则:

⑴O?o(?)?o(?)（O为有界变量，特别可以是常数）; ⑵o(1)???o(?)，其中o(1)是无穷小量; ⑶o(?)?o(?)?o(?)；o(?)?o(?)?o(?). 证明是简单的，譬如证⑶.根据极限的运算规则，因为 所以o(?)?o(?)?o(?)；而因为 所以o(?)?o(?)?o(?).

定理1-4 若?和??0都是同一个极限过程中的无穷小量，则在这个极限过程中，

22?????????o(?) [两个等价无穷小量相差一个高阶无穷小量]

证(?)因为lim???1，根据定理1-1，?1?o(1)，所以????o(1)????o(?).

?????o(?)?lim?1?0?1，所以???. ??(?)因为lim18 / 4

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例如，因为sinx?x(x?0)，所以可把它等价地写成sinx?x?o(x)(x?0)；同理，

tanx?x?o(x)(x?0).

3.无穷大量(无穷极限)称一个变量y为无穷大量，若变量y在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值y大于预先给出的任何正数，简记成“y??”. 特别，若能够使y大于预先给出的任何正数，则称变量y为正无穷大量，简记成“y???”；若能够使y小于预先给出的任何负数，则称变量y为负无穷大量，简记成“y???”.资料个人收集整理，勿做商业用途 “无穷大量”与“无穷小量”是两个对偶的概念，因此有下面对偶的结论.设变量y在某一个极限过程中不取数值0.

11若变量y是无穷大量，则倒数y就是无穷小量；反之，若变量y是无穷小量，则倒数y就是无穷大量.

具体到函数y?f(x)，当自变量x在某个极限过程x??中，若函数f(x)是无穷大量或正无穷大量或负无穷大量，就依次记成

请读者注意，这些都是记号，有时口语上也说“极限是无穷大”，但它们没有前面说的那种有．．．．．

穷极限的含义和运算规则！资料个人收集整理，勿做商业用途 a?a1x?例9 求lim0x??b?bx?01?anxn(an?0,bm?0).

?bmxm解 当n?m时，分子分母同除以xn?xm，则有 当n?m时，分子分母同除以xm，则

b?b1x?当n?m时，因为lim0x??a?ax?01根据提示做习题

?bmxm?0，所以(倒数的极限)

?anxn1.求下面的极限（或者用例9的结果直接写出答案，或者像例9那样重新计算）：

4x3?3x2?2x?1? ⑴limx??5x3?7x2?103x2?2x?1? ⑵lim3x??4x?3x2?106x5?5x3?x?1? ⑶limx??7x2?8x?9答案：⑴

4；⑵0；⑶?. 53x2?52?3x2?52?2.limsin?????lim???? x??5x?3x??x?5x?3x?答案：

?22??sin???xx?6. 519 / 4