两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1 两角差的余弦公式

整体设计

一、教学分析

本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究像(°α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像α与(°α)这样的包含两角和的三角函数与α、°单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程.

本节首先引导学生对(αβ)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出αβ角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.

本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的由来;②使学生认识公式的结构特征,加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明;④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.

二、教学目标

．知识与技能：

通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.

．过程与方法：

通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.

．情感态度与价值观：

通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.

三、重点难点

教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 教学难点:探索过程的组织和适当引导.

四、课时安排

课时

五、教学设想

（一）导入新课

思路.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究像(°α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像α与(°α)这样的包含两角和的三角函数与α、°单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课.

思路.(复习导入)我们在初中时就知道°23°,由此我们能否得到°(°°)?这里是不是等22于°°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？

(αβ)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①请学生猜想(αβ)?

②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示(αβ)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现(αβ)?

④细心观察(αβ)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？ ⑤如何正用、逆用、灵活运用(αβ)公式进行求值计算？

活动:问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到(αβ)αβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α°,β°,则(αβ)°

31?3,而αβ°°,这一反例足以说明(αβ)≠αβ. 22让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.

问题②,既然(αβ)≠αβ,那么(αβ)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是αβ这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？

图

如图,设角α的终边与单位圆的交点为,∠β,则∠αβ.过点作垂直于轴,垂足为,那么就是角αβ的余弦线,即(αβ),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示.过点作垂直于,垂足为,过点作垂直于轴,垂足为,过点作垂直于,垂足为.那么表示β表示β,并且∠∠α.于是βαβα,所以(αβ)αβα β.

教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α、β、αβ是有条件限制的,即α、β、αβ均为锐角,且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.

图

问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图,在平面直角坐标系内作单位圆,以为始边作角α、β,它们的终边与单位圆的交点分别为、,则

OA(αα)OB(ββ),∠αβ.

OBOAOB·(αβ)(αβ), 由向量数量积的定义有OA·

由向量数量积的坐标表示有

OA·OB(αα)(ββ)αβαβ,

于是(αβ)αβαβ.

我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角αβ必须符合条件≤αβ≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,αβ也是任意角,因此就是研究当αβ是任意角时,以上公式是否正确的问题.当αβ是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［π),

OBθ(αβ).若θ∈［ππ］,则πθ∈［,π］,且OA·OB(πθ)θ(αβ). 使θ(αβ),若θ∈［,π］,则OA·

由此可知,对于任意角α、β都有 (αβ)αβαβ((αβ)) 此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角αβ的余弦值之间的关系,称为差角的余

弦公式,简记为(αβ).有了公式(αβ)以后,我们只要知道α、β、α、β的值,就可以求得(αβ)的值了. 问题④,教师引导学生细心观察公式(αβ)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“”右“”.或让学生进行简单填空,如()(θφ)

等.因此,只要知道了α、α、β、β的值就可以求得(αβ)的值了.

问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如°°°°(°°)°3, 2α［(αβ)β］(αβ)β(αβ)β.

讨论结果:①—⑤略.

（三）应用示例

思路

例 利用差角余弦公式求°的值.

活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如°°°或者°°°,从而就可以直接套用公式(αβ)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的