高数

高等数学A(下册)期末考试试题

一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）

、已知向量a、b满足，，，则． 、设，则．

3、曲面在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设f(x)是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则f(x)的傅里叶级数 在处收敛于 ，在处收敛于 ． 5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则

※以下各题在答题纸上作答并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

、求曲线在点处的切线及法平面方

程． 2、求由曲面及所围成的立体体积． 3、判定级数

是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ n 、设，其中f具有二阶连续偏导数，求．

5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部．

三、（本题满分9分） 抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． 第 1 页 共 2 页

高数

（本题满分10分）

计算曲线积分?L(exsiny-m)dx+(excosy-mx)dy，

其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2+y2=ax(a>0)． 四、（本题满分10分） xn

求幂级数∑n的收敛域及和函数． n=13?n∞

五、（本题满分10分）

计算曲面积分I=??2xdydz+2ydzdx+3(z ∑332-1)dxdy，

其中∑为曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧． 六、（本题满分6分）

设f(x)为连续函数，f(0)=a，F(t)=222z=

Ω

，其中是由曲面[z+f(x+y+z)]dvt??? Ωt 与z=

lim+t→0F(t)． t3

------------------------------------- 备注：①考试时间为2小时；

②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。 第 2 页 共 2 页 高数

高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】 参考解答与评分标准 2009年6月

一、填空题【每小题4分，共20分】 1、-4； 2、-

二、试解下列各题【每小题7分，共35分】 1；3、2x+4y+z=14； 4、3，0； 5

. y2

dz?dy3y+z=-2x?dy5xdz7x?dxdx=1、解：方程两边对x求导，得?， 从而，…………..【4】 =-dx4ydx4z?ydy-zdz=-3x?dx?dx

571该曲线在(1,-1,2)处的切向量为T=(1,,)=(8,10,7).…………..【5】 488 故所求的切线方程为x-1y+1z-2==………………..【6】 8107

法平面方程为 8(x-1)+10(y+1)+7(z-2)=0 即 8x+10y+7z=12……..【7】 ?z=2x2+2y2

2222D:x+y≤2．…..【2】?２、解：?，该立体在面上的投影区域为 x+y=2xOyΩxy22?z=6-x-y 故所求的体积为V=

???dv=?dθΩ02π0dρ?6-ρ22ρ2dz=2π0(6-3ρ2)dρ=6π……..【7】 ∞11n３、解：由limnun=limnln(1+)=limln(1+)=1>0，知级数∑un发散…………………【3】 n→∞n→∞nn→∞nn=1

111|u|=ln(1+)>ln(1+)=|u|lim|u|=limln(1+)=0.故所给级数收敛且条件收敛．又n【7】 n+1,nn→∞n→∞nn+1n

４、解：?z11=(f1'?y+f2'?)+0=yf1'+f2'， …………………………………【3】 ?xyy

1x?2zx11x''-2f2'-3f22''.【7】''?x+f12''?(-2)]-2f2'+[f21''?x+f22''?(-2)]=f1'+xyf11=f1'+y[f11 ?x?yyyyyyy ５、解：∑

的方程为

z=，∑在xOy面上的投影区域为Dxy={(x,y)|x2+y2≤a2-h2}．

=…..………【３】 第 3 页 共 2 页 高数

2πdSadxdy故=??2=a?

dθ22??00zDxya-x-y∑ρdρ?122=2πa-ln(a-ρ)?22?a-ρ?2?0a=2πaln..【7】 h