2019-2020年中考数学总复习名师讲义—两圆外切的性质与应用

两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种关系，当相切的两个圆，除了切点外，每个圆上的点都各在另一个圆的外部时，我们称这两个圆外切。而且外切关系是两圆位置关系中比较重要的一种关系，它具有的性质较多。 性质（1） 外切两圆的连心线必经过它们的切点，且两个圆心之间的距离d（圆心距） 等于两个圆的半径之和，即d=R+r

两圆外切，其中任一个圆的过两圆切点的切线，也必是另一个圆的切线，也就是说， 两个圆心及切点这三点共线。

222例1 若两圆半径分别为R，r(R＞r)，其圆心距为d,且 R?d?r??2Rr，则两圆的位置关系是__________.

222解：因为R?d?r??2Rr,222所以R?2Rr?r?d,

所以 所以d=R+r(R+r=-d不合题意). 因此两圆的位置关系是外切.

二、外切的两圆，共有三条公切线，其中两条是外公切线，一条是内公切线，内公切线过两圆的切点且垂直于它们的连心线。

如图1，半径为r、R的⊙O1与⊙O2外切，外公切线AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，那么AB就是外公切线长。连O1A，O2B，由切线性质知

O1A?AB,O2B?AB,过O1作O2B垂直O1C.可证得四边形ABCD为矩形，得

O1C?AB,BC?O1A?r， 因此，O2C?R?r， 而在RtΔO1O2C中，

(R?r)2?d2,所以R?r??d,O1O2?R?r,O2C?R?r, 于是AB?O1C?O1O22?O2C2?(R?r)2?(R?r)2?4Rr?2Rr.于是有：

性质(2) 外公切线长等于2Rr

两圆外切,经常添的辅助线是内公切线,因为内公切线可以产生两圆相等的弦切角,可将两圆

的元素联系起来.

性质(3) 添内公切线是解决两圆外切问题的金钥匙.

例2 已知如图2, ⊙O1与⊙O2外切于点C,PA切⊙O2于点A,交⊙O1于点P、D，直接PC交⊙O2于点B。

求证：AC平分∠BCD。

解：过C作⊙O1与⊙O2的内公切线`MN交AP于M，所以∠MCD=∠P. 又PA切⊙O2于点A, 所以∠MAC=∠ACM,

所以∠ACB=∠P+∠MAC=∠MCD+∠MCA=∠DCA. 即AC平分∠BCD.

四.看下一例:如图3, ⊙O1与⊙O2外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B,求证?ABP为直角三角形.

解:过P作内公切线交AB于E,由切线长定理知EB=EP,EP=EA,即EB=EP=EA,根据定理(在一个三角形中,一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是直角三角形)知?ABP为直角三角形. 此题中AB为外公切线与两圆的切点,P为两圆切点. 我们习惯上把?ABP称为切点三角形.

在关于两圆外切关系的几何证明题中,运用切点三角形来分析问题,解决问题,可以收到事半功倍的效果,它的应用在两圆外切中尤为重要. 性质(4) 切点三角形是直角三角形.

例4(重庆市中考题)如图4, ⊙O1与⊙O2外切于点P,内公切线PC与外公切线AB(A、B分别是⊙O1与⊙O2上的切点)相交于点C,已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3、4,则PC的长等于________.

分析:由于AB为外公切线,由性质(2)知 AB?2Rr?23?4?43.

又由性质(4)知?APB为直角在三角形且CP=CB=AC,故CP为斜边AB上的中线,因此

1CP?AB?23.2

例5.如图5, ⊙O1与⊙O2外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B,连心线O1O2交 ⊙O1于C,交⊙O2于D,CA与DB的延长线相交于Q,求证:CQ?DQ.

简析：连AP、BP,由上题知∠APB=Rt∠,又∠CAP=∠PBD=Rt∠,故由四边形内角和定理知∠Q=Rt∠,即CQ?DQ。

两圆外切关系的这些性质,在解题时要灵活的应用.在例4、例5中的切点三角形并不是现成有的,而是添线构造出来的,难度稍大些,因此脑子中对切点三角形这些性质必须有深刻的印象,才能举一反三,触类旁通.