高考数学 黄金配套练习6-2 理
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 答案 A
解析 依题意得a1＋a9＝2a5＝10，a5＝5，选A.
3ππ
2．在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin(2a4－)＝( )
23A.
31
B. 22
31
D．－ 22答案 D
3π3ππ3πππ1
解析 ∵a2＋a6＝，∴2a4＝，∴sin(2a4－)＝sin(－)＝－cos＝－，选
2232332C．－D.
3设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4＝9，S3＝15，则数列{an}的通项an＝( )
A．2n－3 B．2n－1 C．2n＋1 D．2n＋3 答案 C
????a4＝9?a1＋3d＝9?a1＝3??解析 由???，所以通项an＝2n＋1. ?S3＝15?3a1＋3d＝15?d＝2???
2
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－2am＝0，S2m－1＝39，则m＝( ) A．38 B．39 C．20 D．19 答案 C
2
解析 ∵am－1＋am＋1＝2am 又∵am－1＋am＋1＝2am ∴am＝1或0(舍去)
2m－1a1＋a2m－1
∵S2m－1＝＝(2m－1)am
2
∴(2m－1)am＝39，∴2m－1＝39 ∴m＝20. 5．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝( ) A．120 B．105 C．90 D．75 答案 B
解析 设公差为d且d>0.
??a1＋a2＋a3＝15由已知?
?a1a2a3＝80?
，
得?
?a1＋d＝5???a1
a1＋2d＝80解得a1＝2，d＝3(∵d>0)．
∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝105
6．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝
a1＋d
.
Sn7na5
，则等于( )
Tnn＋3b5
- 1 -
2
A．7 B.
32721C.D. 84答案 D
9
a1＋a9
a52a5a1＋a92S921解析＝＝＝＝＝.
b52b5b1＋b99T94
b1＋b92
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )
5
A．1 B.
3
C．2 D．3 答案 C
3a1＋4??＝6
2解析 由???a1＋2d＝4
，解得d＝2.
二、填空题
8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)、Q(4，a4)的直线的斜率是________．
???a4＝a1＋3d＝15?a1＝3?解析 设数列{an}的公差为d，则依题意，得??，故直线?S5＝5a1＋10d＝55?d＝4??
a4－a3dPQ的斜率为＝＝4.
4－31
1
9．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若{}是等差数列，则a11＝________.
1＋an答案 0
11111111n＋1
解析 记bn＝，则b3＝，b5＝，数列{bn}的公差为×(－)＝，b1＝，∴bn＝，
1＋an3222312612
1n＋111－n即＝，∴an＝，故a11＝0. 1＋an12n＋1
10．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2010，－＝2，则S2010的值为________．
20092007
答案 －2010
＝a1＋(n－1)，∴
n22009
S2007dd2010×2009－＝a1＋×2008－a1－×2006＝d＝2，∴S2010＝－2010×2010＋×2＝－20072222010×2010＋2010×2009＝－2010.
122
11．方程(x－x＋m)(x－x＋n)＝0有四个不等实根，且组成一个公差为的等差数列，则2
mn的值为________．
15
答案 － 256
解析 设四个根组成的等差数列为x1，x2，x3，x4，根据等差数列的性质，则有x1＋x4＝x2＋x3＝1
解析 在等差数列{an}中，设公差为d，则＝
S2009S2007
Snnnna1＋(n－1)d2
dS2009
- 2 -
11
∴2x1＋3d＝1，又d＝，∴x1＝－
24
135∴x2＝，x3＝，x4＝
444
15
∴mn＝(x1x4)(x2x3)＝－
256
12．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________． 2
答案 n＋n
解析 第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n＋1项
2
为n＋n·n＝n＋n.
13．已知数列{an}共有m项，记{an}的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2)，第三项及以后所有项和为S(3)，…，第n项及以后所有项和为S(n)，若S(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当n 答案 －2n－1 n(n－1)2 解析 由题意得S(n)＝an＋…＋am＝n×1＋×2＝n，当n 2 22 an＋1＋…＋am＝(n＋1).故an＝S(n)－S(n＋1)＝n－(n＋1)2＝－2n－1. 三、解答题 14．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米． (1)如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？ (2)如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几米粒？ 答案 (1)7 (2)8 解析 1～9号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{an} (1)a1＝11，S9＝351，求得：d＝7 (2)a3＝23，S9＝351，求得：d＝8 15．(2010·浙江卷，文)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0. (1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范围． 15 解析 (1)由题意知S6＝－＝－3，a6＝S6－S5＝－8， S5 ??5a1＋10d＝5，所以? ?a1＋5d＝－8.? 解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7. (2)因为S5S6＋15＝0， 所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 22 即2a1＋9da1＋10d＋1＝0， 222 故(4a1＋9d)＝d－8，所以d≥8. 故d的取值范围为d≤－22或d≥22. 16．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn. (1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式； (2)若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式． 答案 (1)an＝22－2n - 3 - (2)an＝12－n和an＝13－n 解 (1)由S14＝98得2a1＋13d＝14， 又a11＝a1＋10d＝0，故解得d＝－2，a1＝20. 因此{an}的通项公式是an＝22－2n，n＝1,2,3，…. S14≤77??(2)由?a11>0 ??a1≥6 2a1＋13d≤11?? ，得?a1＋10d>0 ??a1≥6 ， 2a1＋13d≤11 ①?? 即?－2a1－20d<0， ②??－2a1≤－12 ③ 11由①＋②得－7d<11，即d>－. 7 由①＋③得13d≤－1， 1111 即d≤－.于是－ 13713 又d∈Z，故d＝－1.④ 将④代入①②得10 所以所有可能的数列{an}的通项公式是 an＝12－n和an＝13－n，n＝1,2,3，…. 拓展练习·自助餐 1．在数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A．a21·a22 B．a22·a23 C．a23·a24 D．a24·a25 答案 C 22 解析 由3an＋1＝3an－2 ，得an＋1＝an－，即数列{an}是以a1＝15为首项，－为公 33 247－2n差的等差数列，所以an＝15－(n－1)＝，可得a23>0，a24<0，即得a23·a24<0，故选C. 33 2．(09·安徽)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( ) A．－1 B．1 C．3 D．7 答案 B 解析 两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋(－34)＝1. nn＋1 3．已知An＝{x|2 67 解析 ∵A6＝{x|2 m＝9 各数成一首项为71，公差为7的等差数列， 9×8 ∴71＋78＋…＋127＝71×9＋×7＝891 2 4．已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值是________． 答案 25 - 4 - 解析 方法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 20×19 由题意：20a1＋×d＝100，即a1＝5－9.5d， 2 2 又a7·a14＝(a1＋6d)(a1＋13d)＝(6d＋5－9.5d)(5－9.5d＋13d)＝25－12.25d 所以a7·a14的最大值为25. 方法二 ∵a7＋a14＝10， a7＋a142 ∴a7·a14≤()＝25. 2 5．在等差数列{an}中，Sn是它的前n项的和，且S6 ③a7是各项中最大的一项； ④S7一定是Sn中的最大值． 其中正确命题的序号是________． 答案 ①②④ 解析 ∵S6 ∴d<0，∴S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0 n＝7时，Sn最大． 6．将等差数列3,8,13,18，…按顺序抄在练习本上，已知每行抄13个数，每页抄21行．求数33333所在的页和行． 解析a1＝3，d＝5，an＝33333，∴33333＝3＋(n－1)×5，∴n＝6667，可得an在第25页，第9行． 教师备选题 1．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2003＋a2004>0，a2003·a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是( ) A．4005 B．4006 C．4007 D．4008 答案 B 4006a1＋a4006 解析 解法一：S4006＝ 2 ＝2003(a2003＋a2004)>0. ∵a2003>0，a2004<0. ∴S4007＝4007a2004<0. ∴4006是Sn>0的最大自然数． 解法二：a1>0，a2003＋a2004>0且a2003·a2004<0 ∴a2003>0且a2004<0. ∴S2003为Sn中的最大值． ∵Sn是关于n的二次函数． ∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小． 4007∴在对称轴右侧． 2 ∴4006在抛物线与x轴右交点的左侧，4007、4008都在其右侧． ∴Sn>0中最大的自然数是4006. 2．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和．若Sn取得最大值，则n＝________. 答案 9 解析 设公差为d，由题设，3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)， 4 解得d＝－a1<0， 33 - 5 -