数学建模习题课1 下载本文

习 题 课

一、初等模型与常用的建模方法

1. 奇偶校验法

例1 在如图所示的4?4方格纸上已填写1,9,8,6四个数字,问能否在

余下的方格内各填入一整数,使得方格区上的每一行每一列都构成等差数列?

9 1 6 8 解 考察左下角格中所填之数,设为p,由于所填方格中都为整数,且

???p与1的奇偶性相同?p应为奇数,该列四个数成等差?? ??p与8的奇偶性相同?p应为偶数,该行四个数成等差?p与8同行p与1同列这就产生了矛盾的结果,故所要求的填法不存在.

例2 利用奇偶校验法证明,空间中不存在“有奇数个面,且每个面又都有奇数条边的多面体”.

证 用反证法. 假设存在具有题设性质的多面体,它有m个面数,各个面分别有n1,n2,?,nm条边,这里m,n1,n2,?,nm均为奇数,从而 n?n1?n2???nm必为奇数.

另一方面,在多面体中,每两个相邻的面都有一条公共边,即多面体的棱,而且每一条棱又都为两个面所共有,因此在求得n时,每一条棱都被重复地计算了一次,所以n?n1?n2???nm又应为偶数,于是产生了矛盾. 故由奇偶校验法知根本不存在具有奇数个面,且每个面又都有奇数条棱的多面体.

例3 已知多项式x3?bx2?cx?d的系数都是整数,且bd?cd为奇数. 证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积. 证 用反证法.

假设满足条件“bd?cd为奇数”的多项式x3?bx2?cx?d能分解为两个整系数多项式的乘积,则必有

x3?bx2?cx?d??x?a??x2?px?q?,

其中a,b,c,d,p,q都是整数.

令x?0代入上式,得

d?aq; (1)

令x?1代入上式,得

1?b?c?d??1?a??1?p?q?. (2)

由条件“bd?cd??b?c?d为奇数”知b?c与d必皆为奇数,进而知(2)式左端1?b?c?d为奇数.

另一方面,由(1)及d为奇数立知a,q必为奇数,因而(2)右端

?1?a??1?p?q?为偶数,于是产生了矛盾. 因此由奇偶校验法知满足条件

“bd?cd为奇数”的多项式x3?bx2?cx?d不能分解为两个整系数多项式的乘积.

2. 席位分配问题

例4 比利时的d’Hondt曾提出过如下一种席位分配方案:将甲、乙、丙三个系的人数都用1,2,3…去除,然后将商从大到小排列,取前21个最大的商数考虑,规定在这21个商中,各系占有几个就分配给几个席位。试通过数学建模探讨这种方法的合理性。

解 以教材中甲、乙、丙三个系人数分别为103,63,34为例: 系别 人数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

甲 103 103 51.5 34.33 25.75 20.6 17.17 14.71 12.875 11.44 10.3 9.36 8.58

乙 63 63 31.5 21 15.75 12.6 10.5 9 7.875 7 6.3 丙 34 34 17 11.33 8.5 6.8

从表中可以看出,按照比利时方法,在21个席位中甲占11席、乙占7席、丙占3席。 说明:(1)此席位分配方案明显不合理; (2)此方法与Q值方法比较有明显的缺陷,特别是当上述商值相等或十分接近时难以排序。

例5 某系共有1000名学生,其中235人住在A楼,333人住在B楼,432人住在C楼。现要组成一个10人委员会,试用Q值方法与d’Hondt方法分别给出分配方案。

解 记各楼人数分别为pA?235,pB?333,pC?432, 总人数p?1000人,席

位n?10 。

方法一(Q值方法) 先按百分数有

nA?nnn?pA?2.35,nB??pB?3.33,nC??pC?4.32. ppp取整后得第一次分配nA?2,nB?3,nC?4.对第10个席位,按Q值计算

2pA2352QA???9204.167,nA(nA?1)2?32pB3332QB???9240.75,

nB(nB?1)3?42pC4322QC???9331.2.nC(nC?1)4?5由于QC最大,所以第10个席位应分配给C楼。

因此,A, B,C的分配席位分别为2,3,5, 共10席。 方法二(d’Hondt方法)

1 2 3 4 5 6 7

A 235 235117.5 78.33 58.75 47 39.17 33.57 B 333 333166.5 111 83.25 66.6 55.6 C 432 432 216 144 108 86.4 72

因此, A, B,C的分配席位分别为2,3,5,与Q值法的结果相同。

3. 分析法建模

例6 将四条腿长相等的长方形桌子放在起伏不平的地面上,如果地面是数学上的光滑曲面,问怎样才能将桌子放平稳?

解 假定椅子中心不动, 四条腿的着地点A,B,C,D如图建立坐标系.

将椅子如图旋转到A/B/C/D/. 所谓着地,就是椅子与地面的距离等于零. 由于椅子位置不同, 椅脚与地面距离不同, 因而这个距离为?的函数, 记

f(?)=“A,B两脚与地面距离之和”, g(?)=“C,D两脚与地面距离之和”.

因地面光滑,f(?)与g(?)连续; 又椅子在任何位置总有三条腿同时“着地”, 故???0,??f(?)与g(?)至少有一个为0, 从而

f(?)g(?)?0,???0,??.

不妨设g(0)?0, f(0)?0,于是问题抽象成如下的数学问题:

假设f(?)与g(?)是?的连续函数,g(0)?0, f(0)?0,且f(?)g(?)?0,???0,??,

求证存在?0??0,??,使得f??0??g??0??0.

证 令h(?)?f(?)?g(?), 则 h(0)?f(0)?g(0)?0. 将椅子旋转?, 即将AB与CD互换,由g(0)?0, f(0)?0知

f(?)?0,g(?)?0,

所以

h(?)?f(?)?g(?)??g(?)?0.

由于h(?)在[0,?]上连续,且h(0)h(?)?0, 故据连续函数的介值定理知

??0?(0,?), 使得h(?0)?0, 即

f(?0)?g(?0),

又由f(?0)g(?0)?0,,故得

f??0??g??0??0,

表明在???0方向上,四条腿一定能同时“着地”.

例7 某人早上8时从山下以旅店出发沿一条路径上山,中午12点到达时到

达山顶,下午游览并在山顶留宿,次日早上8时沿同一路径下山,于中午12时返回旅店。问此人能否在两天中的同一时刻经过途中的同一地点,为什么?若下山时,此人11时回到旅店,问结论又如何?

解 (1)设从山下旅店到山顶这条路径的总路程为d。如图建立以时间t为

横坐标,以沿上山路线从山下旅店到山顶的路程x为纵坐标的直角坐标系。

设第一天的行程为

x?f(t),8?t?12.

则f(t)是单调不降的连续函数,满足

f(8)?0,f(12)?d.

设第二天的行程为

x?g(t),8?t?12.

则是单调不增的连续函数,满足

g(8)?d,f(12)?0.

h(t)?f(t)?g(t),8?t?12,

则h(t) 在[8,12]上连续。由于

h(8)?f(8)?g(8)?0?d??d?0,h(12)?f(12)?g(12)?d?0?d?0,

故根据连续函数的介值定理知存在t0?(8,12), 使得

h(t0)?0, 即 f(t0)?g(t0)?0,表明在时刻t0经过途中的同一地点。

f(t0)?g(t0).

(2)若下山时,此人11时回到旅店,只要前一天此人在上午11点之前从旅店出发上山,类似的分析同样可以得出:能在同一时刻经过途中同一地点。