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3.3 几何概型
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．用随机模拟的方法来估计圆周率π的近似值．在正方形中随机撒一把芝麻，如果撒了1 000颗芝麻，落在正方形内切圆内的芝麻点数为778颗，那么这次模拟中π的近似值是
________．
πR2π778【解析】 根据几何概型及用频率估计概率的思想，＝＝，其中R为正方形
4R241 000
内切圆的半径，解得π＝3.112.
【答案】 3.112
?1?在区间?1，2?上任取一点x，
2．已知函数f(x)＝log2x，x∈?，2?，?2?0则使f(x0)≥0的概
?2???
率为________．
?1?【解析】 欲使f(x)＝log2x≥0，则x≥1，而x∈?，2?，
?2?
2－12
∴x∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P＝＝.132－2
2
【答案】
3
3．如图3-3-5，在平面直角坐标系中，∠xOT＝60°，以O为端点任作一射线，则射线
落在锐角∠xOT内的概率是________.
图3-3-5
【解析】 以O为起点作射线，设为OA，则射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．记“射线OA落在锐角∠xOT内”为事件A，其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公
60°1
式，可得P(A)＝＝.360°6
1
【答案】
6
4．若将一个质点随机投入如图3-3-6所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质
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点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．
图3-3-6
【解析】 由题意AB＝2，BC＝1，可知长方形ABCD的面积S＝2×1＝2，以AB为直径的
π
2π1π2
半圆的面积S1＝×π×1＝.故质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝＝.2224
π
【答案】
4
5．一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的
三个顶点的距离均超过1的概率为________．【解析】 边长为3,4,5构成直角三角形，
P＝－1－＋
－1－＋
3＋4＋5
－1－
＝
61＝.122
1
【答案】
2
6．一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC区域内随机爬行，则其恰在到顶点A或顶点
B或顶点C的距离小于1的地方的概率为________．
【解析】 由题意知，三角形ABC为直角三角形，
1
则S△ABC＝×6×8＝24，
2
记“恰在到顶点A或B或C的距离小于1”为事件A.
则事件A发生的图形为图中阴影部分面积，
1π2
因为S阴＝×π×1＝22
π
2πS阴
所以P(A)＝＝＝.S△ABC2448
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2
π
【答案】
48
2
7．已知集合A＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}，现在集合内任取一点，使得x＋y≤1的概
率是________．
2
2
【解析】 集合A表示的平面图形是如图所示的边长为1的正方形，其内切圆为x＋y
＝1.
设“在集合内取一点，使得x＋y≤1”为事件A，即所取的点在单位圆x＋y＝1上或内
2
2
2
2
π
部．由几何概型知P(A)＝.
4
π
【答案】
4
8．已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP-ABC
1
＜VS-ABC的概率是________．2
1
【解析】 如图，由VP-ABC＜VS-ABC知，P点在三棱锥S-ABC的中截面A0B0C0的下方，P＝1
2
－
VS-A0B0C017
＝1－＝.
VS-ABC88
7
【答案】
8二、解答题
9．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在
约定时间相见的概率．
【解】 设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，
22
当且仅当－≤x－y≤.
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